Программа курса “Теория сложных систем”

I. Организационно-методический отдел

Цель курса: дать представление о динамике сложных систем, механизмах самоорганизации открытых систем, описать явления перехода от регулярной к стохастической динамике в сложных системах, ознакомить с примерами обучения нейронных сетей.


Задача курса: освоение методов исследования нелинейных динамических систем с дискретным и непрерывным временем, формирование современного взгляда на проблемы предсказуемости динамики сложных систем и природу стохастичной динамики, выявление универсальных закономерностей в картине бифуркаций динамических систем, освоение основных понятий теории нейронных сетей, осознание механизмов самоорганизации открытых систем.


Место курса в учебном плане: курс обеспечивается курсами математического анализа и высшей алгебры, углубляет материал курса “Дополнительные вопросы высшей математики”, посвященный дифференциальным уравнением, и служит основой для курсов “Концепции современного естествознания”, “Нейроинформатика”.


Требование к уровню усвоения содержания курса: студент должен уметь сформулировать описание динамики системы в конфигурационном и фазовом пространствах, вычислить показатели Ляпунова для систем с кусочно-линейной динамикой в дискретном времени, описать механизм бифуркаций удвоения цикла в квадратичной динамике, сформулировать закон Фейгенбаума об универсальности последовательности бифуркаций, уметь построить фазовый портрет для систем с непрерывным временем, описать картину бифуркаций и условия формирования странного аттрактора в модели Лоренца, описать явления самоорганизации в открытых системах, сформулировать алгоритм обучения простейших нейронных сетей.

II. Содержание курса

1. 
   Разделы курса
   

1. 
   Динамические системы
   
2. 
   Динамические системы с дискретным временем
   
3. 
   Динамические системы с непрерывным временем
   
4. 
   Нейронные сети

5. Открытые системы
   

2. 
   
   

Темы и краткое содержание


2.1. Динамические системы

2.1.1. Классический детерминизм

Принцип причинности. Механическое движение. Уравнения Ньютона. Детерминизм Ньютона – Лапласа.

2.1.2. Современный детерминизм

Неустойчивость движения динамических систем. Стохастическая динамика. Горизонт предсказуемости.

2.1.3. Фазовое пространство и динамическая группа

Состояние системы. Фазовое пространство системы. Динамика системы (динамическая группа/полугруппа). Системы с дискретным временем.


2.2. Динамические системы с дискретным временем

2.2.1. Дискретная динамическая группа

Динамическая группа. Динамика, порожденная итерациями отображения фазового пространства. Фазовая траектория. Неподвижная точка. Устойчивость неподвижной точки. Периодическая траектория. Аттрактор. Показатель Ляпунова для систем с одномерным фазовым пространством

2.2.2. Линейная дискретная динамика на вещественной оси

Итерации линейного отображения. Неподвижная точка и ее устойчивость. Показатель Ляпунова для линейной системы. Информация и показатель Ляпунова.

2.2.3. Кусочно-линейная дискретная динамика на отрезке.

Итерации кусочно-линейного отображения отрезка. Непрерывное семейство кусочно-линейных отображений. Режим устойчивой неподвижной точки. Бифуркация. Режим неустойчивости неподвижных точек. Показатель Ляпунова. Картина бифуркаций. Хаотический режим.

2.2.4. Дискретная динамика на отрезке, порожденная квадратичным отображением

Семейство квадратичных отображений единичного отрезка. Итерации квадратичного отображения. Режим устойчивой неподвижной точки. Возникновение периодической траектории. Бифуркации удвоения периода.

2.2.5. Универсальность Фейгенбаума

Последовательность бифуркаций удвоения периода цикла. Возникновение режима хаотического движения. Универсальные коэффициенты Фейгенбаума. Окна периодичности в хаотическом режиме.

2.3. Динамические системы с непрерывным временем

2.3.1. Описание динамики в конфигурационном и фазовом пространстве.

Конфигурация системы. Конфигурационное пространство механической системы. Уравнения траекторий в конфигурационном пространстве. Теорема Коши для уравнений движения в конфигурационном пространстве. Фазовое пространство механической системы. Фазовый поток. Фазовый портрет динамической системы. Гамильтонова форма уравнений движения механической системы. Консервативность гамильтоновых систем.

2.3.2. Гармонический осциллятор

Уравнения Ньютона. Общий вид решений. Начальные условия. Фазовое пространство. Уравнения Гамильтона для гармонического осциллятора. Траектории в фазовом пространстве. Фазовый портрет гармонического осциллятора.

2.3.3. Ангармонический осциллятор

Семейство ангармонических потенциалов. Спонтанное нарушение пространственной симметрии. Фазовый портрет ангармонического осциллятора.

2.3.4. Математический маятник

Уравнения движения математического маятника в форме Ньютона и Гамильтона. Фазовый портрет. Финитные и инфинитные движения. Сепаратрисы.

2.3.5. Затухающий осциллятор

Уравнение движения. Общий вид решений. Режим затухающих колебаний.

Апериодический режим. Фазовый портрет. Диссипативный характер гамильтоновой динамики. Точечный аттрактор.

2.3.6. Нелинейный осциллятор Ван дер Поля

Уравнения движения в конфигурационном и фазовом пространстве. Фазовый портрет. Неустойчивость неподвижной точки. Устойчивый периодический аттрактор.

2.3.7. Система Лоренца

Нелинейные уравнения движения. Неподвижные точки. Условия устойчивости неподвижных точек. Странный аттрактор. Бифуркации.


2.4. Нейронные сети

2.4.1. Обучение нейронной сети


2.5. Открытые системы

2.5.1. Самоорганизация в открытых системах.

Нагревание жидкости между параллельными плоскостями. Конвекционные потоки. Ячейки Бенара. Кооперативные явления. Самоорганизация в открытой системе. Химический осциллятор Белоусова – Жаботинского.

3. 
   Перечень вопросов для самопроверки
   

1. 
   Сформулируйте принцип причинности
   
2. 
   Что такое механическое движение
   
3. 
   Напишите общий вид уравнений Ньютона для системы материальных частиц
   
4. 
   Сформулируйте принцип детерминизма Ньютона – Лапласа
   
5. 
   В чем состоит неустойчивость движения нелинейных динамических систем
   
6. 
   Опишите возможность возникновения стохастической динамики
   
7. 
   Что означает возникновения горизонта предсказуемости
   
8. 
   Что такое фазовое пространство динамической системы
   
9. 
   Дайте описание динамики системы с помощью группы (полугруппы) гомеоморфизмов фазового пространства
   
10. 
    Опишите классификацию траекторий динамической системы
    
11. 
    Дайте описание динамической системы с дискретным временем
    
12. 
    Постройте динамику на основе итераций нелинейного отображения
    
13. 
    Дайте определение устойчивой неподвижной точки
    
14. 
    Что такое периодическая траектория системы с дискретной динамикой
    
15. 
    Дайте определения аттрактора динамической системы
    
16. 
    Сформулируйте определение показателя Ляпунова дискретной динамической системы на прямой
    
17. 
    Получите выражение для показателя Ляпунова через средний логарифм производной отображения
    
18. 
    Опишите особенности динамики, порожденной итерациями линейного отображения
    
19. 
    Вычислите показатель Ляпунова для линейной динамики
    
20. 
    Опишите связь показателя Ляпунова с средней потерей информации за итерацию
    

21. Определите семейство дискретных динамических систем, порожденных кусочно-линейными отображениями

22. 
    Опишите режим устойчивости неподвижной точки кусочно-линейной динамики
    
23. 
    Опишите переход к режиму с неустойчивыми неподвижными точками
    
24. 
    Вычислите показатель Ляпунова для кусочно-линейной динамики
    
25. 
    Опишите характер итераций кусочно-линейного отображения
    
26. 
    Опишите неустойчивый характер движения, порожденного кусочно-линейной динамикой
    
27. 
    Определите динамику на отрезке, порожденную семейством квадратичных отображений
    
28. 
    Опишите режим устойчивых неподвижных точек квадратичной динамики
    
29. 
    Опишите условия возникновения устойчивой периодической траектории
    
30. 
    Опишите механизм бифуркации удвоения периода для квадратичной динамики
    
31. 
    Опишите картину последовательности бифуркаций удвоения периода
    
32. 
    Сформулируйте законы универсальности Фейгенбаума для каскада бифуркаций удвоения периода
    
33. 
    Опишите общий вид показателя Ляпунова в зависимости от параметра квадратичного отображения
    
34. 
    Опишите механизм перехода к хаотическому движению
    
35. 
    Что означают окна периодичности в хаотическом режиме
    
36. 
    Сформулируйте описание динамики в конфигурационном пространстве
    
37. 
    Сформулируйте теорему Коши для уравнений движения в конфигурационном пространстве.
    
38. 
    Опишите связь конфигурационного и фазового пространств механической системы
    
39. 
    Что такое фазовый поток
    
40. 
    Что такое фазовый портрет динамической системы
    
41. 
    Напишите уравнения движения механической системы в гамильтоновом виде
    
42. 
    Сформулируйте свойство консервативности гамильтоновой системы
    
43. 
    Напишите уравнения движения гармонического осциллятора
    
44. 
    Напишите общий вид решения уравнений движения гармонического осциллятора
    
45. 
    Запишите уравнения движения гармонического осциллятора в гамильтоновом виде
    

46. Опишите фазовый портрет гармонического осциллятора

47. 
    Напишите уравнения движения для ангармонического осциллятора
    
48. 
    Опишите общий характер траекторий ангармонического осциллятора
    
49. 
    Опишите явление спонтанного нарушения симметрии для ангармонических осцилляторов
    
50. 
    Опишите качественные особенности фазового портрета ангармонического осциллятора
    
51. 
    Напишите уравнения движения для математического маятника
    
52. 
    Опишите структуру фазового портрета математического маятника
    
53. 
    Определите понятие сепаратриссы
    
54. 
    Напишите уравнения движения затухающего гармонического маятника
    
55. 
    Напишите общий вид решений затухающего гармонического маятника
    
56. 
    Опишите режим периодических затухающих колебаний
    
57. 
    Опишите апериодический режим
    
58. 
    Опишите диссипативный характер фазового потока
    
59. 
    Что такое точечный аттрактор для затухающего гармонического маятника
    
60. 
    Напишите уравнение движения нелинейного осциллятора Ван дер Поля
    
61. 
    Опишите устойчивый периодический аттрактор нелинейного осциллятора Ван дер Поля
    
62. 
    Напишите уравнения движения для системы Лоренца
    
63. 
    Опишите физический смысл констант в уравнении Лоренца для случая конвекции в слое жидкости
    
64. 
    Опишите неподвижные точки системы Лоренца
    
65. 
    Опишите область устойчивости неподвижных точек системы Лоренца
    
66. 
    Опишите явление возникновения странного аттрактора в системе Лоренца
    
67. 
    Опишите общий вид бифуркаций в системе Лоренца
    
68. 
    Что такое нейронная сеть
    
69. 
    Что такое функции активности нейронных сетей
    
70. 
    Что такое обучение нейронных сетей
    
71. 
    Что такое метод наименьших квадратов
    
72. 
    Опишите пример обучения нейронной сети для построения прямой
    
73. 
    Опишите кооперативные явления, возникающие при образовании ячеек Бенара
    

74. Опишите химический осциллятор Белоусова – Жаботинского.

75. 
    Опишите общий характер явлений самоорганизации в открытых системах.
    

4. 
   Примерный перечень вопросов к экзамену
   

1. 
   Классический детерминизм и неустойчивость движения динамических систем.
   
2. 
   Дискретная динамика. Показатель Ляпунова
   
3. 
   Линейная дискретная динамика и потеря информации
   
4. 
   Кусочно-линейная одномерная дискретная динамика.
   
5. 
   Дискретная динамика на отрезке, порожденная квадратичным отображением
   
6. 
   Универсальность Фейгенбаума последовательности бифуркаций
   
7. 
   Описание динамики в конфигурационном и фазовом пространстве.
   
8. 
   Гармонический осциллятор.
   
9. 
   Ангармонический осциллятор.
   
10. 
    Математический маятник.
    
11. 
    Осциллятор с затуханием.
    
12. 
    Нелинейный осциллятор Ван дер Поля.
    
13. 
    Система Лоренца: неподвижные точки.
    
14. 
    Система Лоренца: странный аттрактор и бифуркации.
    
15. 
    Обучение нейронной сети.
    
16. 
    Самоорганизация открытых систем.
    

III. Распределение часов курса по темам и видам работы

№	Наименование тем и разделов	ЧАСЫ
		Всего	Аудиторные занятия		Самостоятельная работа
			Лекции	Практичес- кие занятия
1	Динамические системы	6	4		2
2	Динамические системы с дискретным временем	22	10		12
3	Динамические системы с непрерывным временем	24	12		12
4	Нейронные сети	18	4		4
5	Открытые системы	8	4		4
	ВСЕГО	68	34		34

IV. Форма итогового контроля

Экзамен

V. Учебно-методическое обеспечение курса

Основная литература

1. 
   Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой. Лекции соросовского профессора. Учебное пособие. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 144 с.
   
2. 
   Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. – М.: Постмаркет, 2001. - 184 с.
   

3. Калан Р. Основные концепции нейронных сетей. Пер. с англ. – М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. – 288 с.

4. 
   Карпов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 496 с.
   
5. 
   Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. Пер. с англ. – М: Мир, 1990. – 344 с.
   
6. 
   Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. – 240 с.
   

Дополнительная литература

1. 
   Пригожин И. От существующего к возникающему. Время и сложность в физических науках. Пер. с англ. – М.: Наука, 1985. – 328 с.
   
2. 
   Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. Пер. с англ. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 312 с.
   
3. 
   Хакен Г. Синергетика. Пер. с англ. – М.: Мир, 1980. – 406 с.
   
4. 
   Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 420 с.
   
5. 
   Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 240 с.
   
6. 
   Хакен Г. Тайны восприятия. Синергетика как ключ к мозгу. Пер. с нем.– М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 202 с.
   
7. 
   Хакен Г. Принципы работы головного мозга. Синергетический подход к активности мозга, поведению и когнитивной деятельности. Пер. с англ. – М.: ПЕР СЭ, 2001. – 351 с.
   
8. 
   Кальоти Дж. От восприятия к мысли. О динамике неоднозначного и нарушениях симметрии в науке и искусстве. Пер. с нем. – М.: Мир, 1998. – 221 с.
   
9. 
   Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. – М.: Наука, 1997. – 255 с.
   
10. 
    Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 336 с.
    
11. 
    Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. – М.: Наука, 1997. – 285 с.
    

12. Берже П., Помо И., Вуидаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. Пер. с франц. – М.: Мир, 1991. – 368 с.

13. 
    Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Основания синергетики. Режимы с обострением, самоорганизация, темпомиры. – СПб.: Алетейя, 2002. – 414 с.
    
14. 
    Бранский В.П., Пожарский С.Д. Социальная синергетика и акмеология. Теория самоорганизации индивидуума и социума. – СПб.: Политехника, 2002. – 476 с.
    
15. 
    Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. – М.: Наука, 1990. – 272 с.
    
16. 
    Чернявский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. – М.: Наука, 2001. – 244 с.
    
17. 
    Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. – М.: Наука, 2002. – 478 с.
    

Автор программы:

Профессор Н.В. Борисов