girniy.ru 1
Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу


«Предел последовательности и предел функции»


  1. Определения.




    1. Определение бесконечно малой последовательности.

    2. Определение сходящейся последовательности.

    3. Определение монотонной последовательности.

    4. Определение предельной точки последовательности.

    5. Определение подпоследовательности.

    6. Определение верхнего и нижнего пределов последовательности.

    7. Определение фундаментальной последовательности.

    8. Определение предела функции.

    9. Определение монотонной функции.

    10. Определение непрерывности функции.

    11. Определение сложной функции.

    12. Определение предела функции по Коши и по Гейне.




  1. Теоремы.

    1. Теорема о пределе суммы двух бесконечно малых последовательностей.

    2. Теорема о пределе разности двух бесконечно малых последовательностей.

    3. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

    4. Теорема о пределе суммы сходящихся последовательностей.

    5. Теорема о пределе разности сходящихся последовательностей.

    6. Теорема о пределе произведения сходящихся последовательностей.

    7. Теорема о пределе частного сходящихся последовательностей.

    8. Теорема о предельном переходе в неравенствах.

    9. Теорема о пределе монотонной последовательности.

    10. Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности.

    11. Теорема о существовании предельной точки у ограниченной последовательности.

    12. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
    13. Теорема о связи существования предела последовательности с равенством верхнего и нижнего пределов этой последовательности.


    14. Критерий Коши для последовательностей.

    15. Теорема о пределе суммы двух функций.

    16. Теорема о пределе разности двух функций.

    17. Теорема о пределе произведения двух функций.

    18. Теорема о пределе отношения двух функций.

    19. Теорема о непрерывности суммы двух функций.

    20. Теорема о непрерывности разности двух функций.

    21. Теорема о непрерывности произведения двух функций.

    22. Теорема о непрерывности отношения двух функций.

    23. Формулировка теоремы об обратной функции. Примеры.

    24. Первый замечательный предел.

    25. Теорема о непрерывности сложной функции.

    26. Теорема о существовании предела по Гейне как следствие существования предела по Коши.

    27. Критерий Коши существования предела функции.



3. Примеры теоретических вопросов:

3.1. Записать определение предела функции по Коши: .

3.2. Пусть функция f(x) непрерывна в точке х0, g(x) – разрывна в точке х0. Что можно сказать о непрерывности произведения f(x) g(x) в точке х0?

3.3. Привести пример последовательности с двумя предельными точками.



  1. Примеры задач.

4.1.

4.2. .


  1. Пример билета.


Билет 1.


1. Определение бесконечно малой последовательности. Теорема о пределе суммы двух бесконечно малых последовательностей.

2. Записать определение предела функции по Коши: .

3.