Урок 5.

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника


Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

	длины прилежащих сторон и угол между ними
	длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону
	длины трех сторон треугольника.

Докажем первую из формул.

1. 
   Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.
   

Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

.

Обозначим биссектрису AD через l_a .

Требуется найти l_a.

Так как



то



Отсюда

.

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:


.

Следовательно,




Ответ: .

Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.


Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

2. 
   Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.
   

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

Получаем

Ответ: 10.

2. 
   Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
   

Решение.



Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD- биссектриса, AD=12.

Используя формулу

,

Вычислим , получаем:

, .

(по основному тригонометрическому тождеству).

Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

.

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

Получаем



Ответ. 235,2.

2. 
   . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD
   

проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.


Решение.



Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

, то есть .

Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

Ответ :.

Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
   

Посмотреть решение.

2. 
   В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.
   

Посмотреть решение.

3. 
   Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.
   

Посмотреть решение.

4. 
   В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.
   

Посмотреть решение.