Содержание курса
т
еория вероятностей и математическая статистика
Дискретная теория вероятностей. Предмет теории вероятностей.
Построение вероятностного пространства. Пространство элементарных исходов, вероятностная интерпретация множества и операций над множествами. Некоторые классические модели и распределения. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов: выбор с возвращением, выбор без возвращения, упорядоченный и неупорядоченный. Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по N ячейкам (статистика Максвелла-Больцмана, статистика Бозе-Эйнштейна, статистика Ферми-Дирака), дуализм с выниманием n шаров из урн.
Возникновение биномиального и мультиномиального (полиномиального) распределений в задачах выбора с возвращением. Возникновение геометрического и гипергеометрического распределений в задачах выбора без возвращений.
Геометрические вероятности. Парадокс Бертрана.
Условная вероятность, формула Байеса, априорная и апостериорная вероятности, формула полной вероятности, независимые события.
Простые случайные величины (с конечным числом значений), индикаторы. Математическое ожидание простых случайных величин и их свойства. Дисперсия. Неравенство Чебышева. Дисперсия суммы, понятие ковариации и коэффициента корреляции случайных величин.
Схема Бернулли. Закон больших чисел, локальная предельная теорема, интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа, теорема Пуассона. Оценка вероятности успеха 
в схеме Бернулли (состоятельная, несмещенная эффективная, неравенство Рао-Крамера). Доверительные интервалы для оценки вероятности успеха в схеме Бернулли.
-алгебры. Теоремы о существовании наименьшей алгебры и алгебры, содержащих множества из заданной системы множеств. Построение борелевской алгебры в R , Rn . Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах. Общее определение случайной величины.
Интеграл Лебега. Общее определение математического ожидания и его свойства (теоремы о неравенствах и о предельных переходах под знаком математического ожидания). Разные виды сходимости последовательности случайных величин.
Условные вероятности и условные математические ожидания относительно алгебр. Свойства условных математических ожиданий.
Распределения случайных величин: функция распределения, плотность распределения (в одномерном и многомерном случаях). Нормальное распределение.
Характеристические функции. Определение, основные свойства.
Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин.
Применение центральной предельной теоремы.
Основные понятия и задачи математической статистики.
Генеральная совокупность и выборка из нее. Эмпирическая (выборочная) функция распределения, гистограмма и эмпирические (выборочные) моменты.
Задача оценивания неизвестных параметров распределения. Статистики, статистические оценки и их основные свойства: состоятельность, несмещенность, эффективность. Построение точечных и интервальных оценок.
Статистическая проверка гипотез. Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистической обработки данных. Общая логическая схема построения статистического критерия. Задача статистической проверки гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины. Критерии согласия.
Задачи регрессионного анализа.
ЛИТЕРАТУРА
-
Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. М.: Финансы и статистика,1983.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука,1969.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1972
Лагутин М.Б. Наглядная математическая статистика. М.: БИНОМ, 2007.-
Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1963.
Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1986
Тутубалин В.Н. Теория вероятностей. М.: Изд-во МГУ, 1972
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1987
Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.Т.1. М.: Мир, 1984.