Бройни системи. Видове бройни системи.
1. Бройна система - съвкупност от знаци и правила, чрез които се записват числа.
2. Видове бройни ситеми
а) непозиционни - при тези БС мястото на знака в записа на числото не оказва влияние върху стойността му.
Пример: числата II ,MMII записани с помощта на римската бройна система.
В записа на първото число и двата знака I имат стойност 1 и II=2.
Аналогично в записа на второто число М има стойност 1000, I - 1 и MMII=2002.
б) позиционни - при този тип БС мястото на всеки знак в записа на числото играе съществена роля за определяне на стойността, показвана от дадения знак.
Пример: десетичното 22 - първото 2 има стойност 2.10=20, докато второто - 2.1=2
При позиционните бройни системи се въвежда знак за отбелязване на празната позиция ( най-често 0).
Пример Числото 12 е различно от числото 102 !
Основа на бройната система, това е броят на знаците, използвани от нея.
Пример: 10 БС - знаци 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 - 10 на брой, основа 10.
2 БС - знаци 0,1 - 2 на брой, основа - 2
Прието е позиционните БС да се означават по следния начин:
(10) - 10 БС; (2) - 2 БС; (8) - 8 БС и т.н.
2. Представяне на цели числа в позиционна бройна система
а) представяне в (10)
Прието е , когато става въпрос за запис на число в 10 БС , това да не се отбелязва специално, докато при всички други бройни системи се поставя обозначение.
Числата, записани в 10 БС, се представят по следния начин:
125=1.102+2.101+5.100
23704=2.104+3.103+7.102+0.101+4.100
б) представяне в (2)
Начина за представяне на числата тук е аналогичен, като е променена основата.
101(2)=1.22+0.21+1.20
1101101
(2)=1.2
6+1.2
5+0.2
4+1.2
3+1.2
2+0.2
1+1.2
0
3. Преобразуване на записа на цели числа от една БС в друга
а) от (2) към (10)
разлагане по степените на 2
Пример:
1101(2)=1.23+1.22+0.21+1.20=8+4+0+1=13(10)
1101101(2)= 1.26+1.25+0.24+1.23+1.22+0.21+1.20=64+32+0+8+4+0+1=109(10)
другият вариант за преобразуване е като се използва следната схема:
Умножава се най-лявата цифра по две и се добавя съседната й вдясно; полученият резултат се умножава по две и се прибавя следващата съседна цифра вдясно и т.н. до изчерпване на цифрите от записа на числото. ( Този начин е известен и като схема на Хорнер.)
Пример:
1101(2)=((1.2+1).2+0).2+1=3.2.2+1=13
1101101(2)=(((((1.2+1).2+0).2+1).2+1).2+0).2+1=
=(((3.2.2+1).2+1).2+0).2+1=((13.2+1).2+0).2+1=
=(27.2+0).2+1=54.2+1=109
Може да се забележи, че схемата на Хорнер е по-приложима при машинно изпълнение на задачата, докато при извършване на преобразуването от човек по-лесно се работи чрез разлагане.
б) от (10) към (2)
представяне като сума от степени на 2
Пример:
42=32+10=32+8+2=1.32+0.16+1.8+0.4+1.2+0.1=
=1.25+0.24+1.23+0.22+1.21+0.20=101010(2)
чрез деление на 2
Пример:
42:2=21 ост.0;
21:2=10 ост.1;
10:2=5 ост.0;
5:2=2 ост.1;
2:2=1 ост.0;
1:2=0 ост.1
Записваме остатъците като двоично число, но започваме от последния и се движим към първия => 42=101010(2)
Като че ли по-добър е методът с делението, но ако човек умее да си представя степените на 2 достатъчно добре, може да използва и първия метод. Важното все пак е да се получава верен краен резултат.
4. Ариметични действия с цели числа, представени в (2)
4.1 Събиране
а) правила за събиране на едноцифрени числа
0+0=0
1+0=1
0+1=1
1+1=10
Очевидно е , че в първите три случая е доста лесно да се извърши събирането и не съществува дори и формално различие с ,,обикновеното" събиране в 10 БС. В случая, когато се налага да съберем две единици, резултатът е 2, но тъй като толкова е основата на бройната система, това се записва като 10. Казано с други думи, можем да твърдим, че 1 и 1 прави 0 и имаме едно наум (една единица пренос в по-старша позиция). тогава не е трудно да се пресметне, че 1+1+1=11 или 1+1+1+1=100 (от всяка двойка единици имаме по 1 пренос, резултатът от сбора на преносите е също 0 и пренос 1 и така се стига до 100(2)=4).
б) правила за действие с многоцифрени числа
Принципът е същият, както при работа в 10 БС, но е доста по-лесно, защото няма такова разнообразие от цифри. Най-лесно е (поне в началото) събираемите да се запишат едно под друго, като се подравнят спрямо десните си краища (единици под единици и т.н.) и после да извършим събирането, движейки се позиция по позиция отляво надясно.
Ако правилно сте разбрали написаното, би трябвало без затруднение да получите следните резултати:
111+10=1001
1101+10111=100100
101+1010=1111
1000+1101=10101
4.2Умножение
а) на едноцифрени числа
0.0=0
0.1=0
1.0=0
1.1=1
Тук кой знае какви обяснения не са нужни.
б) на многоцифрени числа
Спазва се основният принцип на умножението с многоцифрени числа - свежда се до умножение с едноцифрено, изместване и събиране.
Очевидно и тук е изпълнено : 11.10=110 1101.100=110100
Тогава всеки сам би могъл да опита да пресметне колко е 111.1011,
и ако внимава поне малко, сигурно ще получи 1001101, а пък 10111.1101 прави 100101011.
Естествено, винаги съществува и вариантът, при който можете първо да преобразувате множителите от 2 в 10 БС, после да извършите умножението и накрая да превърнете резултата отново в 2 БС. Изборът е ваш!
5.Задачи за упражнение
(11101+1011).111= 1011.10010+10101= 111.1111+1001000=
1001+1010.1011= 101.11+1011.101= * (10000-111).1010=
*Ако сте усъвършенствали събирането, не би следвало да имате затруднения и с изваждането, така че опитайте.
Осмична и шестнадесетична бройни системи
1. Осмична бройна система - (8)
а) особености знаци - 0,1,2,3,4,5,6,7; основа - 8
б) превръщане от (8) в (10) - чрез разлагане по степените на (основата) 8
4506(8)=4.83 +5.82+0.81+6.80=4.512+5.64+0+6.1=2048+320+6=2374
в) превръщане от (10) в (8) - също както и при превръщането от (10) в (2) и тук са възможни два варианта за действие
чрез представяне като сбор от степени на 8
55=6.8+7.1=6.81+7.80=67(8) 100=1.64+4.8+4.1=1.82+4.81+4.80=144(8)
чрез разделяне на 8 и записване на остатъците в обратен ред
55:8=6 ост.7 6:8=0 ост.6 Тогава 55=67(8)
100:8=12 ост.4 12:8=1 ост.4 1:8=0 ост.1 Тогава 100=144(8)
За препоръчване е втория вариант, тъй като е по-ясен , по-алгоритмизиран, а и при него по-лесно се проверява за допуснати грешки.
2. Превръщания от 8 в 2 БС и обратно
а) от (8) към (2)
Тъй като има връзка между основите на тези две БС, оказва се че съществува доста лесен начин за преминаване от едната БС към другата.
зад. Като използвате равенството 8=23 определете:
а) Кое е най-голямото число, което може да се запише в 3 двоични знака?
б) Колко двоични знака са необходими, за да могат да бъдат записани в тях числата от 0 до 7 ?
Ако сте се справили със задачката, то и сами можете да стигнете до този извод:
/*В три знака на 2 БС може да се запише числова стойност между 0 и 7 - т.е. точно колкото е десетичното изражение на всеки един от знаковете на 8 БС. Обратно, всеки знак на 8 БС, разгледан като 10 число има големина от 0 до 7, следователно би могил да бъде записан в три позиции на 2 БС.
Така принципа за преминаване от 8 към 2 БС е следният:
Всяка отделна цифра от числото се ,,превежда" самостоятелно в три позиции, получените тройки се слепват, водещите 0 се премахват и резултатът е търсеното двоично представяне.*/
Пример: 352(8)=?(2) 3=011(2) 5=101(2) 2=010(2)
Тогава 352(8)=011 101 010=11101010(2)
Лесно се разбира защо 6021(8)=110000010001(2) или 3110(8)=11001001000(2)
б) от (2) към (8)
Тук механизмът е същият, но е изпълнен в обратен ред:
Разделяме двоичния запис на числото на тройки, започвайки от десния край ( ако последната група не е пълна, я допълваме с нули). Превеждаме всяка тройка в 10 БС и така получените цифри, взети една след друга, образуват осмичния запис на числото.
Пример: 110101001100(2)=110 | 101 | 001 | 100 =6 | 5 | 1 | 4 = 6514(8)
Аналогично 111000110(2)=111 000 110 =7 0 6=706(8)
3. Шестнадесетична бройна система - (16)
а) особености
Основата на бройната система е 16, което води до необходимостта от използване на 16 знака за представяне на стойностите от 0 до 15 вкл. Естествено познатите ни 0,1,2 …9 заемат своето място, но са необходими още 6 знака. Те са първите шест букви от латинската азбука (изписани като главни), съответно всяка със стойност:
A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15.
Тогава 1F4, D2, F1, B1B2 са допустими записи на числа в 16 БС.
б) превръщане от (16) към (10) - чрез разлагане по степените на основата (16)
Пример:
D2(16)=D.161+2.160=13.16+2.1=208+2=210
B1B2(16)=B.163+1.162+B.161+2.160=11.4096+1.256+11.16+2.1=
=45056+256+176+2=45490
в) превръщане от (10) в (16) - най-разумно е да се използва методът на делението
Пример: 150=?(16)150:16=9 ост.6 9:16=0 ост.9 Тогава 150=96(16)
4. Превръщания от (16) към (2) и обратно
а) от (16) към (2)
Аналогично на превръщането от 8 в 2 БС, само че тук представяме всеки знак от записа на шестнадесетичното число в 4 двоични позиции, защото стойностите от 0 до 15 вкл. се ,,побират" точно в толкова двоични места.
Пример: D2(16)=?(2) D->13, 13=1101(2) 2=0010(2)
Тогава D2(16)=11010010(2)
B1B2(16)=?(2) B->11, 11=1011(2) 1=0001(2) 2=0010(2)
Тогава B1B2(16)=1011000110110010(2)
б) от (2) към (16)
И сега използваме същия метод, както при 8 БС, но разделянето ще бъде по четворки, а не по тройки.
Пример:
100101010011(2)=1001 | 0101 | 0011 = 9 | 5 | 3 = 953(16)
111111011110101011(2)= 0011 | 1111 | 0111 | 1010 | 1011 =
= 3 | 15 | 7 | 12 | 13 = 3F7CD(16)
5. Действия с числа, представени в (8) или (16)
При пресмятане на стойността на изрази, в които числата са представени в 8 или 16 БС, има няколко варианти за действие, но едно е задължително - всички числа трябва да бъдат записани в една и съща БС.
· възможно е човек да си състави таблици за събиране и уможение в 8 и 16 БС и да извършва пресмятанията направо в желаната бройна система.
· превръщат се всички числа в 10 БС, извършват се пресмятанията и отговорът се записва в желаната БС.
· превръщат се всички числа в 2 БС, всички изчисления се правят в нея и после резултатът се превръща в изискваната БС.
Най-много усилия изисква първия вариант за действие, а и вероятността да се сгреши, работейки по него е най-голяма.
Ако се превръща в 10 БС, самите превръщания са доста бавни, но изчисленията се извършват в позната обстановка и се греши по-малко.
Ако се превръща в 2 БС, превъщанията се правят бързо, като също токова бързо се извършва и събирането. Единствен недостатък е тежкия запис при умножението на по-големи числа - това отнема доста време и увеличава шансовете за грешка.
Който и вариант да избере човек, налага се да бъде концентриран и да спазва изложените по-горе основни правила за работа в 2, 8, 10 и 16 БС, а успешният изход зависи и от упоритостта на занимаващия се.
Задачи за упражнение върху бройни системи
1. Превърнете в (10):
а) 342(5)
б) 605(9)
в) 164(7)
г) 2112(3)
д) 110110(2)
е) А21В(16)
2. Превърнете :
а) в (2) числата: 103; 77; 245; 511.
б) в (8) числата:254; 103; 74; 300.
в) в (16) числата: 28; 201; 110; 1000.
3. Пресметнете:
а) 1000110(2) + 101(2).1101(2)= ?(8)
б) (1100101(2) + 11101(2)).101(2)= ?(16)
в) 215(8) + В1(16)= ?(16)
г) 1С(16).17(10)= ?(8)
д) 23(16) + 23(8) + 23(10) = ?(2)
е) (D2
(16) + F1
(16)).50
(8) = ?
(16)