girniy.ru 1



XIV. Ставропольская краевая открытая научная конференция школьников


Направление науки математика

Название работы «Значение функций в жизни человека»


Автор работы:

Мананкова Полина Александровна

Место выполнения работы:

Ставропольский край,

с. Красногвардейское,

Гимназия № 1, 9 «Б» класс


Научный руководитель:

Бледных Ирина Геннадьевна

Преподаватель Красногвардейской гимназии № 1


с. Красногвардейское

2003 год








I.

Концепция биоритмов вызывала и продолжает вызывать бурные споры в научном мире. С её позиций биологические ритмы сформировались в процессе непрерывного усложнения и совершенствования живых систем, их структурной и временной организации. Цикличность физиологических процессов – оптимальная форма существования организма с точки зрения энергетики.

Проблемы восприятия времени организмом, связь между ритмами физической работоспособности, мышечным чувством и другими ощущениями нашли отражения в работах русских физиологов И.М. Сеченова, И.П. Павлова, В.М. Бехтерева. В настоящее время теория биоритмов базируется на следующих положениях:


  1. Физическое состояние человека изменяется с периодом 23 дня; эмоциональные – 28 дней; интеллектуальные возможности имеют периодичность 33 дня.

  2. День, когда гармоническая кривая биоритма пересекает горизонтальную ось координат, называется критическим.

В соответствии с этим различают критические дни физического, эмоционального и интеллектуального состояний организма человека.


Считается, что 23-дневный физический биоритм отражает состояние мышечной системы, способность выполнять физическую работу, сопротивляемость организма. В течение первой половины периода (11,5 дней) человек легко справляется с физической нагрузкой, испытывает общий подъём. Для второй части периода (отрицательная её часть) наблюдается быстрая утомляемость меньшая выносливость. Критические дни – первый и двенадцатый.

Эмоциональный (28 дневной) биоритм отражает состояние нейрогуморальной системы. В первой его половине (с 1-го по 14-й) у человека наблюдается повышенная чувствительность и общительность, жизнерадостное настроение. Во второй части периода преобладают раздражительность, нетерпимость к окружающим. Критические дни – первый и четырнадцатый, которым свойственен низкий уровень реакции на внешние раздражители. В эти дни могут происходить несчастные случаи, максимум которых достигается при совпадении с критическими днями физического цикла.

Интеллектуальный (33-х дневной) биоритм обусловлен деятельностью головного мозга. Первая половина этого периода характеризуется повышенной способностью к запоминанию, анализу и усвоению информации, активизации творческого мышления. В критические дни цикла необходимо быть особенно осмотрительным, принимая ответственные решения.

Эти три периода одинаковы для любого человека, независимо от возраста, пола и состояния здоровья. Каждый период точно равен целому числу суток, как будто какой-то внутренний механизм отсчитывает дни и ночи.

Полагают, что в эти дни, когда два или три из этих ритмов проходят через средний уровень, следует быть особенно осторожным: мы более подвержены несчастным случаям.

Дни, когда два цикла находятся ниже своих средних уровней или, когда один в максимуме, а другой в минимуме, тоже считаются опасными. Последовательность таких дней, начиная с рождения, совершенно одинакова для каждого человека.

II.

1. Ни один из нас не может обойтись без врача. В экстренном случае медицинскую помощь человек получает немедленно. Но чаще всего мы можем выбирать удобное время для обследования. Накопленные научные данные о биоритмах позволяют правильно определять наиболее благоприятные часы для диагностики и лечения различных болезней. Кроме того, важно учитывать удачное и неудачное время, которое известно из астрологических таблиц.


Но для каждого отдельного органа или системы существуют свои биоритмы и вполне определенное «лечебное время».

С этих позиций древности по-новому можно применять старый принцип – лечить человека, а не болезнь.

С глубокой древности передаются сведения о суточной циркуляции внутренней энергии в организме. Этим обуславливается двухчасовая активность каждого отдельного органа в течение одних суток. В определенные два часа происходит максимальный прилив энергии к данному органу. А поэтому он наиболее восприимчив к лечебным воздействиям. Вот этот перечень лечебных периодов:

Сердце–11час.-13час.; тонкий кишечник-13час.-15час.; мочевой пузырь-15час.-17 час.; почки-17час.-19 час.; полость сердечной сумки-19час.-21 час.; дыхание, кровообращение, пищеварение, мочеполовая система-23час.-1час.; печень-1час.-3час.; легкие-3час.-5час.; селезенк9час.-11час.

Со сдвигом на 12 часов фиксируется время минимальной энергии в каждом органе.

При выборе лечения важно учитывать и сезонную цикличность активности органов.

Пример: ежедневное повышение и снижение порога болевой чувствительности наших зубов. Расположение колебания таково, что идти на прием к дантисту лучше после обеда. Во второй половине дня поры болевой чувствительности зуба в 1,5 раза выше, а онемение в результате анестезии продолжается в несколько раз дольше, чем ночью.


Эффективность обезболивания максимальна после полудня: доза наркоза необходимая утром, днем может оказаться избыточной. Аллергические реакции возникают быстрее и проявляются быстрее в начале ночи, чем в полдень.

Вся наша жизнь строго укладывается в 24-часовые рамки, в том числе и интенсивность физиологических функций, колеблется в соответствии с наиболее заметным циклом чередования сна – бодрствования.

Чередование сна и бодрствования является обязательным условием для жизни. Во время сна отдыхают многие органы нашего тела, восстанавливаются функции нервной систем, мозг восстанавливает свою работоспособность.



Если человек лег спать в 23 часа, то самый глубокий сон у него в о часов, в 2 и 3 часа. После 3х часов глубина сна уменьшается. Известно, что новорожденный ребенок спит 17 часов, ребенок, которому 2 года спит 16 часов в сутки, в 6 лет – 14 часов. Есть специальная формула для вычисления нормального числа часов сна человека в возрасте до 18 лет: Y=17-0,5X,

Где X – возраст в годах;

Y – число часов сна.

На протяжении суточного цикла наше сознание переживает приливы и отливы. Пробуждение от сна, видимо, наступает, когда что-то в мозге, постепенно изменяясь на протяжении сна, достигает порогового уровня. Если что-то начинает плавно меняться в определенной фазе (в момент засыпания), оно достигнет порога в более поздней, заранее предсказуемой фазе – и Вы проснетесь (если прежде Вас не разбудит будильник). Продолжительность нашего сна может меняться в довольно широких пределах, в зависимости от времени засыпания.

2.Говорят, что Земля - наш космический дом. Все мы дети Солнца. И все мы зависим от него.

В 20-е годы людей заинтересовал вопрос, не влияла ли циклическая активность Солнца на распространение и ход различных заболеваний. Даже поверхностное знакомство свидетельствует об их неслучайной связи.


В связи с тем, что в 1935г. солнечная активность была достаточно сильная, число заболеваний с диагнозом сердечно-сосудистой системы было велико. А в 1933 г. солнечная активность была достаточно слабая и число заболевших с тем же диагнозом было мало.

III.

Еще с некоторого времени публикуются кроссворды с фрагментами. Их отличие от традиционных кроссвордов заключается в новых способах зашифровки слов. Например, вместо привычного «персонаж греческой мифологии» приводится список: «Юпитер-Зевс, Венера-Афродита, Марс -…». Прочитав этот список, читатель должен догадаться, что парах слов богам римской мифологии (Юпитер, Венера, Марс) ставится в соответствие их коллеги из греческого пантеона (Зевс, Афродита,…). Марсу, римскому бог войны, очевидно, соответствует греческий Арес. Это и есть искомый ответ.


В математике всякое правило, устанавливающее подобное соответствие, называется функцией или функциональной зависимостью.

Знание функциональных зависимостей позволяет давать ответы на весьма разнообразные вопросы – от датировки древних документов до управления сложнейшими производственными процессами.

Человек издавна стал замечать соответствия между отдельными предметами и явлениями окружающего мира: красный закат – к ветру, снежна зима – к урожаю.

Систематизируя наиболее устойчивые и поддающиеся осмыслению взаимозависимости, человек научился рассматривать их, как частный случай сравнительно немногих общих соотношений. Человек назвал их законами природы. Знание законов природы дало человеку возможность объяснить и предсказывать её разнообразнейшие явления. Математическими портретами закономерности природы и служат функции.

IV.

Нельзя говорить о функции без указания её области определения.

… « Почему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций?» - этот вопрос обсуждали персонажи знаменитого трактата Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки». Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность – только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило, что бы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью.

Рассуждение вполне строгое и убедительное.

В рассуждениях Галилея линейные размеры гипотических животных, в принципе, могли принимать любое значение – от очень маленьких до очень больших, как говорится, от нуля до бесконечности. Это и есть область определения функции объема животного, площади сечения его костей. Область значения этих функций также простиралась от нуля до бесконечности.


V.

Функцию можно задавать табличным способом. Вписать в ряд или в столбик несколько значений аргумента, а ниже или рядом поместить соответствующее значение функции. За первым примером табличного задания функции обратимся к «Энциклопедии домашнего хозяйства». Откроем ее. На странице, где указаны длительно допустимые токи для проводов в зависимости от сечения:


Сечение жилы

(мм. Кв.)

0,75

1,00

1,5

2,5

Максимально допустимый ток (Ампер)

13

15

20

27


По этим данным можно построить график. Пусть значения аргумента, приведенные в верхней строчке, послужат абсциссами, а значения функции, приведенные в нижней – ординатами тех точек, которые мы станем наносить на координатную плоскость. Точки соединим непрерывной плавной кривой. Графический способ делает информацию о функции зримой и наглядной. Выразительная картинка вмиг расскажет о характерных особенностях и поведении функции.

Если наша цель – смонтировать проводку в квартире, то для работы достаточно этого графика или даже одной таблицы. Ведь провода, поступающие в продажу, имеют лишь определенные стандартные сечения.

Но если мы интересуемся существом дела, причинами тех ограничений для тока, которые обусловлены сечением применяемых проводов-то, наверняка, захотим понять: каковы физические законы, которые определяют функциональную зависимость, выраженную таблицей и отраженную графиком?


Существо дела здесь состоит в том, что провода разогреваются, когда по ним течет ток. Нагрев прямо пропорционален квадрату тока и обратно пропорционален сечению провода. Увеличив ток в цепи, скажем, в два раза, мы должны в четыре раза увеличить сечение проводов во избежание их перегрева. Увеличив ток в три раза – в девять раз увеличить сечение проводов.

Так приходим к формульному заданию интересующей нас функции – ток измеряется, как корень квадратный из сечения проводов:

I = k S

Коэффициент пропорциональности k в этой формуле равен 16,3,если ток I измеряется в амперах, а сечение жилы S - в квадратных миллиметрах.


Понятно, что домашний мастер вряд ли принял бы такую замену. Таблица дает готовые рекомендации на все случаи житейской практики, а формула еще требует вычислений. Да и к тому же в ней нет той наглядности, которая присуща графику.

Строя графике в координатах «сечение провода – ток», проводя непрерывную линию над всеми, без исключения, точками некоторого промежутка абсцисс, заявляем, что сечение провода может равняться любой величине с этого промежутка.

Во многих случаях такие графики чертятся с помощью самопишущих приборов. Например, для измерения давления атмосферы на различных высотах используют специальный самопишущий прибор – барограф, который записывает на движущийся ленте в виде кривой линии изменения давления в зависимости от высоты.

VI.

Хочу обратить внимание не картинку.


Картинка смешная, так ли? А почему? Потому что в ней есть подвох? Наш взгляд скользит по ногам человечка, затем вдоль туловища (как мы думаем) скрытого газетой, затем подходит к краю газеты, ожидая встретить там голову… ан нет! Голова оказывается в совсем другом месте. Фигура нарисованного человечка оказывается разорванной. Теперь сравним графики.

Какая из этих двух изображенных функций более похожа на человека с газетой? Конечно, функция график № 2.

Прослеживая взглядом ход линии при подходе и значению аргумента А, обнаружим, что значение функций в этой точке (указана жирным кружком) совсем не то, что ожидалось, как на графике № 1.

Функция № 1 называется непрерывной в точке А, вторая – разрывной или прерывной в этой точке. Непрерывность функции на промежутке X – означает, что график функции сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков. На самом деле в математике все обстоит «с точностью наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции; при этом формальное определение непрерывности достаточно сложное и тонкое. Тоже самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функции, будем по-прежнему опираться на наглядно – интуитивные представления.

Теперь рассмотрим функцию Y=f(x),


Х², если Х ≤ 0

где f(x)= 2Х, если Х > 0


График этой функции представлен ниже.


Сначала строим параболу Y = Х² и берем ее часть при Х ≤ 0, т.е. ее левая ветвь.

Затем построим прямую Y = 2Х, берем ее часть при Х > 0. обе выделенные части объединим на одном рисунке, т.е. построим в одной координатной плоскости. Получается, что мы построили функции, заданные разными формулами на разных промежутках, но на одном графике, т.е. взяли кусочек одной функции, кусочек другой функции и совместили их на одном промежутке. Такие функции называются кусочными.

VII.

А теперь обратим внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции: Y = √ Х ( график №1) и Y = Х² (график №2)

Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Но математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково. Тогда ввели понятие выпуклости вверх и выпуклости вниз. График функции Y = √Х обращен выпуклостью вверх, тогда, когда график функции Y = Х², где Х ≥ 0 обращен выпуклостью вниз. Обычно говорят, что функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (график №4); функция выпукла вверх, если соединив любые две точки ее графика отрезкой прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (график №3).



VIII.

Для всего мира функциональных зависимостей характерно такое преобладание функций, как возрастающих, так и убывающих. На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:


  • функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

  • функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.


«Чем дальше в лес, тем больше дров» - гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где все давным-давно собрано, до чащоб, куда еще не ступала нога заготовителя.

Горизонтальная ось графика – это лесная дорога. По вертикали будем откладывать (в кубометрах) количество топлива на данном километре дороги. График представит количество дров как функцию пути.

Согласно пословице, эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс, не взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.


Сходное свойство иллюстрирует и пословица «кашу маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице, эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и на прежнем уровне. Подобного рода функции называют монотонно не убывающими. Возрастание – это только вверх. Неубывание – это ни вверх, ни вниз. Возрастание – частный случай неубывания. Например, всюду постоянная функция принадлежит к числу неубывающих, хотя она ни на одном участке своей области определения не возрастает.

«Дальше кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, - монотонно убывающая.

IX.

Существует такая пословица: «Выше меры конь не скачет».


Изобразим траекторию скачущего коня. Высота скачков в полном соответствии с пословицей ограничена сверху некоторой «мерой».


На графике зависимости ограниченность скачка коня в высоту явно выражено. Следовательно, ограниченность еще одно свойство функции.

«У попа была собака. Он ее любил. Она съела кусок мяса. Он ее убил. В землю закопал. Надпись написал: «У попа была собака. Он ее любил…» и так далее.

Поповская собака нужна для разговора о периодических функциях, для усиления математического понятия периода и тех искажений, которые вносятся в него обыденной речью.

Периодичность в обыденной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость, может быть, более или менее строгой. Достаточно рассмотреть приведенный текст: какую букву не возьми, она обязательно повторится через 89 букв.

Функцию Y=f(x) называют ограниченной сверху, если все значения функций меньше некоторого числа. Геометрически это означает, что график функции расположен ниже некоторой прямой, параллельной оси Х.

Функцию Y=f(x) называют ограниченной снизу , если все значения функции больше некоторого числа. Геометрически это означает, что график функции расположен выше некоторой прямой параллельной оси Х. Пример: дана функция Y=Х²


Эта функция ограничена снизу и неограниченна сверху. Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:


  1. Если у функции существует Y наим., то она ограничена снизу;

  2. Если у функции существует Y наиб., то она ограничена сверху;

  3. Если функция не ограничена снизу, то Y наим. не существует;

  4. Если функция не ограничена сверху, то y наиб. Не существует.

У функции Y=X² Y наиб. – нет;

Y наим. = 0 при Х =0.


X.

Сейчас пойдет речь еще о двух свойствах функции.

Функцию Y=f(x), х € Х, называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство:


f(-x)=f(x).

функцию y=f(x), х € Х, называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство:

f(-x)=-f(x).

Ось ординат является осью симметрии графика четной функции.

Начало координат является центром симметрии графика нечетной функции.

Но существуют функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными. Такова, например, функция Y=2x+3.

f(1)=5, f(-1)=1

f(1)≠f(-1)и f(-1)≠-f(1)

значит, не выполняется ни тождество f(-x)=f(x), ни тождество f(-x)=-f(x), следовательно, функция вида Y=2x+3 – ни четная, ни нечетная.

Так же ее можно проверить на графике:



  1. Функция Y=2x+3 – не симметрична оси y, значит, четной она не является;

  2. Функция y=2x+3 – не симметрична началу координат графика, значит, нечетной она не является.

Следовательно, она ни четная, ни нечетная.

XI.

Обычно говорят, что две величины X и Y обратно пропорциональны, если они связанны соотношением X*Y=k или, что тоже самое, Y=k/x. По этой причине функцию y=k/x называют иногда обратной пропорциональностью, а число k – коэффициентом обратной пропорциональности.

Вообще графиком функции Y=k/x (k≠0), является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьим координатных углах, если k>0


И во втором и четвертом координатных углах, если k<0


Точка (0,0) – центр симметрии гиперболы, оси координат - асимптоты гиперболы.

Асимптоты - это прямые, к которым неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

Различают асимптоты вертикальные (т.е. параллельные оси ординат) и наклонные (т.е. непараллельные оси ординат).

XII.

Функцию вида Хⁿ, где n = 1,2,3,4… называют степенной функцией с натуральным показателем. Как же выглядят графики функций Y=X³, Y=X4, Y=X5 и т.д.


Рассмотрим функцию Y=X³,


Y=X³ - нечетная функция, т.к. ее график симметричен относительно начала координат. Эту кривую называют кубической параболой. У нее есть центр симметрии – точка(0,0), которая отделяет друг от друга две симметричные части кривой; эти симметричные части называют ветвями кубической параболы.

Рассмотрим функцию Y=X4

Y=X4 – четная функция, т.к. ее график симметричен оси ординат.

Он похож на параболу (но параболой его не называют). У него есть центр симметрии – точка (0,0), которая отделяет друг от друга две симметричные части.

Функцию, вида Y=X-ⁿ, где n – натуральное число, называют степенной функцией с отрицательным целым показателем.

Как выглядят графики функций Y=X-², Y=X-³; и т.д.

Рассмотрим функцию Y=X-² - это то же самое, что и Y=1/X²


Y=1/X² - четная функция. Кривая Y=1/X² асимптотически приближается к осям координат.

Говорят также, что ось Х (т.е. прямая Y=0) является горизонтальной асимптотой графика функции, а ось y(т.е. прямая Х=0) является вертикальной асимптотой этого графика.

Рассмотрим функцию Y=X-³, это то же самое, что и Y=1/X³

Y=1/X³ - нечетная функция. Кривая Y=X³ асимптотически приближается к осям координат.

Ось Х (т.е. прямая Y=0) является горизонтальной асимптотой графика функции, а ось Y( т.е. прямая Х=0) является вертикальной асимптотой этого графика.

XIII.

Сколько звезд на небе?

Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают. И, чтобы бедующие исследователи могли следить за возникновением и угасанием звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие – второй, еще столь же менее яркие – третьей и так далее, в порядке равномерного убывания видимого блеска – до звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.


Когда ученые получили в свое распоряжение чувствительные приборы для световых измерений, стало возможным точно определять блеск звезд. Стало возможным сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по видимому блеску, произведенное на глаз.


По вертикальной оси будем откладывать блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную величину, по горизонтальной – показания приборов. За масштабную единицу горизонтальной оси примем блеск звезды «тельца», стоящей посредине в ряду представителей звездного сонма.

Сразу же бросается в глаза: отметки на горизонтальной оси располагаются неравномерно! Объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу!

С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, как могло бы показаться, а примерно, в два с половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает источники света по блеску, задаваясь вопросом: «во сколько раз?» – а не вопросом «на сколько?»

Как же называется функция, с которой мы познакомились по звездному графику?

Прежде чем отвечать на этот вопрос, нам надо ответить на несколько других. Обратимся к графику.


В какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы получить шесть с четвертью? Во вторую, - отвечает упомянутый график. А в какую степень нужно возвысить два с половиной, чтобы получить четыре десятых? В минус первую. А чтобы получить два с половиной? В первую. А единицу? В нулевую.

Число, которое нужно употребить показателем степени при указанном основании для того, чтобы получить заданное число, называется логарифмом заданного числа по указанному основанию.

Минус один, нуль, один, два – это логарифмы по основанию 2,5 для чисел 0,4; 1; 2,5; 6,25.

А теперь, не выпуская из памяти всю эту информацию, вернемся к нашему звездному графику. Вот точка с пометкой «Дракон А»: (0,4;-1). Вот точка «Тельца»: (1;0). Точка «Персея»: (2,5;1). Точка «Кастор»: (6,25;2).


Итак, ординаты выделенных точек графика являются логарифмами абсцисс, взятыми по основанию 2,5. выраженная графиком функциональная зависимость заключается в том, что положительным числам ставятся в соответствие их логарифмы. Такую функцию естественно назвать логарифмической. А ее график именуют логарифмикой.

В роли оснований логарифмов встречаются различные положительные числа. На практике весьма употребительны десятичные логарифмы, основание которых равно десяти. В теоретических исследованиях популярны, так называемые, натуральные логарифмы, основанием которых служит число е.

Теперь становится понятным общепринятое, и, быть может, уже слышанное нами название этого числа: основание натуральных логарифмов.

Кривая натурального логарифма, так называемая натуральная логарифмика, приведена рядом со звездным графиком.

XIV.

«…Бросая в воду камешки, мы смотрим на круги, ими образуемые, иначе бросание – пустая забава». Последуем совету мудрого Кузьмы Пруткова и понаблюдаем за кругами на воде. Вот что мы увидим, если остановим мгновение и рассечем пополам водную толщу.

Просматривая атлас функции – не найдется чего похожего? – мы бы крикнули «Эврика!» на странице где изображены так называемые функции Бесселя.

Функции Бесселя рождены для того, что бы описывать процессы в цилиндрических системах координат. Колебания жидкости в топливном баке взлетающей ракеты, поведение плазменного шнура в магнитном поле, распространение тепла вокруг тепловыделяющего стержня в ядерном реакторе – в любом из этих случаев найдется применение функциям Бесселя.

Для этих функций введен особый символ, для них, как для синусов и логарифмов составляются таблицы.


XV.

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. До сегодняшнего дня наша жизнь полностью связана с функциями.