1. Кинематика 6
   

2. 
   Динамика материальной точки 11
   
3. 
   Динамика вращательного движения 21
   
4. 
   Элементы специальной теории относительности 26
   
5. 
   Механические колебания и волны 29
   
6. 
   Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов 41
   
7. 
   Основы термодинамики 45
   
8. 
   Реальные газы, жидкости и твердые тела 52
   

1. 
   Кинематика
   

Скорость и ускорение прямолинейного движения в общем случае определяются формулами

.

В случае прямолинейного равномерного движения

.

В случае прямолинейного равнопеременного движения

.

В этих уравнениях ускорение a положительно при равноускоренном движении и отрицательно при равнозамедленном.

При криволинейном движении полное ускорение

.

Здесь a_τ – тангенциальное (касательное) ускорение и a_n – нормальное (центростремительное) ускорение, причем

,

где υ – скорость движения и R – радиус кривизны траектории в данной точке.

При вращательном движении в общем случае угловая скорость и угловое ускорение находятся по формулам



В случае равномерного вращательного движения угловая скорость



где Т – период вращения, n – частота вращения, т.е. число оборотов в единицу времени.

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью υ соотношением υ= ωR.

Тангенциальное и нормальное ускорения при вращательном движении могут быть выражены в виде

a_τ=εR, a_n=ω²R.

2. 
   Динамика материальной точки
   

Основной закон динамики (второй закон Ньютона) выражается уравнением

F dt = d (mυ).

Если масса m постоянна, то , где а – ускорение, которое приобретает тело массой m под действием силы F.

Работа силы при перемещении s может быть выражена формулой

,

где F_s – проекция силы на направление перемещения, ds – длина перемещения. Интегрирование должно быть распространено на все перемещение s. В случае постоянной силы, действующей под углом α к перемещению, имеем A = F_scos α, где α – угол между силой F и перемещением s.

Мощность определяется формулой

.

В случае постоянной мощности

,

где А – работа, совершаемая за время t.

Мощность может быть определена также формулой

N=Fυ·cosα,

т.е. произведением скорости движения на проекцию силы на направление движения.

Для кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью υ, имеем

.

Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.

В изолированной системе импульс входящих в нее тел остается постоянным, т.е.

m₁₁+ m₂₂+ …+ m_nn=const.

При неупругом центральном ударе двух тел с массами m₁ и m₂ общая скорость движения этих тел после удара может быть найдена по формуле

,

где υ₁ – скорость первого тела до удара и υ₂ – скорость второго тела до удара.

При упругом центральном ударе тел, двигающихся навстречу друг другу, скорость первого тела после удара

;

скорость второго тела после удара

.

При криволинейном движении сила, действующая на материальную точку, может быть разложена на две составляющие: тангенциальную и нормальную. Нормальная составляющая



является центростремительной силой. Здесь – линейная скорость движения тела массой m, R – радиус кривизны траектории в данной точке.

Сила, вызывающая упругую деформацию x, пропорциональна деформации, т.е.

F=kx,

где k – жесткость (коэффициент, численно равный силе, вызывающей деформацию, равную единице).

Потенциальная энергия упругого тела

.

3. 
   Динамика вращательного движения.
   

Момент M силы F относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

M=Fl,

где l – кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

J=mr²,

где m – масса материальной точки и r – ее расстояние до оси вращения.

Моментом инерции твердого тела относительно его оси вращения

,

где интегрирование должно быть распределено навесь объем тела. Производя интегрирование можно получить момент инерции тела любой формы.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

,

где R – радиус цилиндра и m – его масса.

Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ относительно оси цилиндра

,

для тонкостенного полого цилиндра R₁≈ R₂=R и J≈mR².

Момент инерции однородного шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр,

.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно к нему,

.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции J₀ относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельно первой, может быть найден по формуле Штейнера

J=J₀+md²,

где m – масса тела и D – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения (закон сохранения момента импульса) выражается уравнением

M·dt=dL=d(Jω),

где M – момент сил, приложенных к телу, L – момент импульса тела (J – момент инерции тела, ω – его угловая скорость). Если J=const, то

,

где ε – угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил M.

Кинетическая энергия вращающегося тела

,

где J –момент инерции тела и ω – его угловая скорость.

4. 
   Элементы специальной теории относительности
   

Длина l тела, движущегося со скоростью υ относительно некоторой системы отсчета, связана с длиной l₀ тела, неподвижного в этой системе, соотношением

,

где β=υ/с, с – скорость распространения света.

Промежуток времени Δτ в системе, движущейся со скоростью υ по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени Δτ₀ в неподвижной для наблюдателя системе соотношением

.

Зависимость массы m тела от скорости υ его движения дается уравнением

,

где m₀ – масса покоя этого тела.

Зависимость кинетической энергии тела от скорости υ его движения дается уравнением

.

Изменение массы системы на Δm соответствует изменению энергии системы на

ΔW=c² Δm.

Релятивистский закон сложения скоростей для тела, движущегося вдоль оси OX, имеет вид



где υ – скорость движущейся системы отсчета K′, u′ – скорость относительно системы K′, u – скорость относительно неподвижной.

5. 
   Механические колебания и волны
   

Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид

,

где x – смещение точки от положения равновесия, разное для разных моментов времени, А – амплитуда, Т – период, φ – начальная фаза, ν [Гц]=1/Т – частота колебаний, ω [с^-1]=2π/Т – круговая частота.

Скорость и ускорение точки, совершающей колебание, определяются соотношениями



Сила, под действием которой точка массой m совершает гармоническое колебание,

,

где k = 4π²m/T, T = 2π. Здесь Т – период колебаний точки, совершающей колебания под действием силы F = –kx, где k – жесткость, численно равная силе, вызывающей смещение, равное единице.

Кинетическая и потенциальная энергии колеблющейся точки имеют вид

Полная энергия .

Примером гармонических колебательных движений могут служить малые колебания маятника. Период колебаний математического маятника

,

где l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое колебание того же периода с амплитудой



и с начальной фазой, определяемой из уравнения

,

где А₁ и А₂ – амплитуды слагаемых колебаний, φ₁ и φ₂ – их начальные фазы.

При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинакового периода уравнение траектории результирующего движения имеет вид

.

Если на материальную точку массой m, кроме упругой силы F = –kx, действует еще сила трения F_тр  = –rυ, где r – коэффициент трения и υ – скорость колеблющейся точки, то колебания точки будут затухающими. Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид x = Ae^-δtsin(ωt+φ), где δ [с^-1] – коэффициент затухания. При этом δ = r/2m и , где ω_о – круговая частота собственных колебаний. Величина æ = δТ, называется логарифмическим декрементом затухания.

Если на материальную точку массой m, колебание которой дано в виде x₁ = Ae^-δtsinω_оt, действует внешняя периодическая сила F = F_osinωt, то колебания точки будут вынужденными и уравнение ее движения примет вид x₂ = Asin(ωt+φ),

где

Резонанс наступает тогда, когда частота вынужденных колебаний ω связана с частотой собственных колебаний ω_о и с коэффициентом затухания δ соотношением .

При распространении незатухающих колебаний со скоростью с вдоль некоторого направления, называемого лучом, смещение любой точки, лежащей на луче и отстоящей от источника колебаний на расстоянии l, дается уравнением

,

где А – амплитуда колеблющихся точек, λ –длина волны. При этом λ=сТ. Две точки, лежащие на луче на расстояниях l₁ и l₂ от источника колебаний, имеют разность фаз

.

При интерференции волн максимум и минимум амплитуды получаются соответственно при условиях



Здесь l₂ – l₁ – разность хода лучей.

6. 
   Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
   

• 
  Концентрация частиц (молекул, атомов и т.п.) однородной системы
  

где V-объём системы

• 
  Основное уравнение кинетической теории газов
  

где p — давление газа; <E_k>-средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

• 
  Средняя кинетическая энергия:
  

приходящаяся на одну степень свободы молекулы



приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)



поступательное движение молекулы



где k-постоянная Больцмана; T-термодинамическая температура; i-число степеней свободы молекулы;

Энергия вращательного движения молекулы

• 
  Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры
  

• 
  Скорость молекулы:
  

средняя квадратичная

, или

средняя арифметическая

, или

наиболее вероятная

, или

где m₁ – масса одной молекулы.

• 
  Барометрическая формула
  

где p_h и p₀ – давление газа на высоте h и h₀.

• 
  Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле
  

где n и n₀ – концентрация молекул на высоте h и h=0; П=m₀gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

• 
  Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с ,
  

где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; <�υ> - средняя арифметическая скорость молекул.

• 
  Средняя длина свободного пробега молекул газа
  

.

• 
  Закон теплопроводности Фурье
  

,

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT/dx – градиент температуры; λ – теплопроводность:



где c_V – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа; <�υ> - средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; <l> - средняя длина свободного пробега молекул.

• 
  Закон диффузии Фика
  

где M – масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t; dρ/dx – градиент плотности; D – диффузия:

.

• 
  Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)
  

,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; dυ/dx – градиент скорости; η – динамическая вязкость:

.

7. 
   Основы термодинамики
   

• 
  Связь между молярной (C_m) и удельной (c) теплоёмкостями газа
  

где M-молярная масса газа.

• 
  Молярные теплоёмкости * при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны
  

;

где i-число степеней свободы; R-молярная газовая постоянная.

• 
  Удельные теплоемкостью при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно равны
  

;

• 
  Уравнение Майера
  
• 
  Показатель адиабаты
  

, или , или .

• 
  Внутренняя энергия идеального газа
  

, или ,

где <E_k>-средняя кинетическая энергия молекулы; N-число молекул газа; k-количество вещества, .

• Работа, связанная с изменением объёма газа, в общем случае вычисляется по формуле
  

где – V₁ начальный объём газа; V₂ - его конечныё объём.

Работа газа;

а) при изобарном процессе (p=const)



б) при изотермическом процессе (T=const)



в) при адиабатном процессе



где T₁ –начальная температура газа; T₂ –ого конечная температура.

• 
  Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатном процессе)
  

• 
  Связь между начальным и конечным значениями параметров состояния газа при адиабатном процессе:
  

; ;

• 
  Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде
  

где Q-количество теплоты, сообщение газу; ∆U-изменение его внутренней энергии; A-работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики:

а) при изобарном процессе



б) при изохорном процессе (A=0)



в) при изотермическом процессе (∆U=0)

г) при адиабатном процессе (Q=0)

• 
  Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае
  

где Q₁ – количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

, или

где T₁ – температура нагревателя; T₁ – температура охладителя.

• 
  Изменение энтропии
  

,

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состоянию системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводится по любому пути.

• 
  Формула Больцмана
  

,

где S – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность её состояния; k – постоянная Больцмана.

8. 
   Реальные газы, жидкости и твердые тела
   

• 
  Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа
  

,

для произвольного количества вещества ν газа

,

где а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа); V – объём, занимаемый газом; V_m – молярный объём;

p - давление газа на стенки сосуда.

Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул,

, или .

• 
  Связь критических параметров – объёма, давления и температуры газа – с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:
  

; ;

• 
  Внутренняя энергия реального газа
  

где С_V –молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме.

• 
  Поверхностное натяжение
  

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкость, или

,

где ∆E – изменение свободной энергии поверхностной плёнки жидкости, связанное с изменением площади ∆S – поверхности этой плёнки.

• 
  Формула Лапласа в общем случае записывается в виде
  

где p-давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости; σ - поверхностное натяжение; R₁ и R₂ – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений жидкости, а в случае сферической поверхности

• 
  Высота подъёма жидкости в капилярной трубке
  

где θ – краевой угол; R-радиус канала трубки; ρ-плотность жидкости; g-ускорение свободного падения.

• 
  Высота подъёма жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями
  

,

где d- расстояния между плоскостями.

• 
  Закон Дюлонга и Пти
  

C_V =  3R,

где C_V – молярная (атомная) теплоемкость химически простых твердых тел.


ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Основные физические постоянные

Атомная единица массы Боровский радиус Универсальная газовая постоянная Гравитационная постоянная Магнетон Бора Масса нейтрона Масса протона Масса электрона Постоянная Авогадро Постоянная Больцмана Постоянная закона смещения Вина Постоянная Планка Постоянная Ридберга Постоянная Стефана-Больцмана Скорость света в вакууме Стандартное атмосферное давление Стандартное ускорение свободного падения Электрическая постоянная Магнитная постоянная		1 а.е.м. = 1,6605655·10-27 кг rо = 0,52917706·10-10 м R = 8,31441 Дж/(моль·К) γ = 6,6720·10-11 Н·м2/кг2 NA = 6,022045·1023 моль-1 b = 2,898·10-3 м·К R = 2,0670687·1016 с-1 σ = 5,670·10-8 Вт/(м2·К4) c = 2,99792458·108 м/с c2 = 931,42 МэВ/а.е.м. p = 1013,25 гПа g = 9,80665 м/с2 1/4πεо=8,9875·109 Н·м2/Кл2 μо/4π = 10-7 Н/А2
Элементарный заряд

2. Астрономические величины

Величина	Ее значение
Масса (в кг) Солнца Земли Луны Средний радиус (в м) Солнца Земли Луны Среднее расстояние (в м) от Солнца до Земли от Солнца до Юпитера от Земли до Луны	1,97·1030 5,96·1024 7,35·1022 6,96·108 6,37·106 1,74·103 1,496·1011 7,778·1011 3,844·108