-
Операции над нечеткими числами
Целый раздел теории нечетких множеств – мягкие вычисления (нечеткая арифметика) - вводит набор операций над нечеткими числами. Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности на основе так называемого сегментного принципа.
Определим уровень принадлежности как ординату функции принадлежности нечеткого числа. Тогда пересечение функции принадлежности с нечетким числом дает пару значений, которые принято называть границами интервала достоверности.
Зададимся фиксированным уровнем принадлежности и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам 
и 
: [a1, a2] и [b1, b2], соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:
операция "сложения":
[a1, a2] (+) [b1, b2] = [a1 + b1, a2 + b2], (2.6)
операция "вычитания":
[a1, a2] (-) [b1, b2] = [a1 - b2, a2 - b1], (2.7)
операция "умножения":
[a1, a2] () [b1, b2] = [a1 b1, a2 b2], (2.8)
операция "деления":
[a1, a2] (/) [b1, b2] = [a1 / b2, a2 / b1], (2.9)
- операция "возведения в степень":
[a1, a2] (^) i = [a1i , a2i]. (2.10)
Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):
-
действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;
-
сумма треугольных чисел есть треугольное число;
-
треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;
-
сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;
сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.
Анализируя свойства нелинейных операций с нечеткими числами (например, деления), исследователи приходят к выводу, что форма функций принадлежности результирующих нечетких чисел часто близка к треугольной. Это прозволяет аппроксимировать результат, приводя его к треугольному виду. И,