Интегральное исчисление и функции многих переменных

Часть 1. Интегральное исчисление

1.1. Первообразная, неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования. Замена переменного и интегрирование по частям.

1.1.1.Определения

Интегрирование – обратная операция к дифференцированию.

Пусть X – связное множество, т.е. множество, которое вместе с любыми двумя своими точками содержит и отрезок, их соединяющий. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на связном множестве X, если F(x) = f(x).

Примеры:

1) f(x)=0, F(x)=C (Const), X=(-,),

2. 
   f(x)=a (Const), F(x)=a x+C, X=(-,),
   
3. 
   f(x)=cos x, F(x)=+C, X=(-,),
   
4. 
   f(x)=1/x, F(x)=ln x+C, X=(0,),
   
5. 
   f(x)=1/x, F(x)=ln |x|+C, X=(- , 0).
   

Замечание. Если F – первообразная для f на связном множестве X, то G =F +C также является первообразной для f, и наоборот, если G , F- первообразные для f, то G =F +C (Следствие из теоремы Лагранжа).

Пример. Функции F = ln |x| и G =ln|x| + sign x имеют общую производную, равную f(x)=1/x на множестве X=(-,0)(0,), в то время, как их разность =sign x и, таким образом, не являются константой на X. Из этого примера слелует, что условие: «X – связное» – существенно. Говоря о первообразной на каком-то множестве, всегда будет предполагаться, что это множество связное.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f на связном множестве X (если они существуют), называется неопределенным интегралом функции f и обозначается



<sub>См. слайд «Неопределенный интеграл».

Неопределенный интеграл</sub>

Таким образом, если F – первообразная для f на X, то

=F(x)+C на множестве X.

Замечание. В обозначении неопределенного интеграла буква x несет смысловую нагрузку переменной для функции F(x)+C. Так, если x=(t), то можно написать

F((t))+C =.

Другими словами, интеграл справа понимается, как суперпозиция функций и x=(t).

1.1.2.Свойства неопределенного интеграла

1) , в частности, .

2) =f+C.

3) , с точностью до аддитивной постоянной.

4) , с точностью до аддитивной постоянной.

Все эти свойства проверяются непосредственно по определению. Например, второе свойство. Производная функции равна , поэтому является первообразной для функции . Любая другая первообразная отличается от нее на константу. Таким образом, . В четвертом свойстве необходимо добавить следующее замечание. Равенство следует понимать так. Для любой первообразной из множества функций найдутся первообразные из множеств , такие, что . И наоборот, для любой пары функций из множеств , их сумма будет принадлежать множеству .

1.1.3.Таблица неопределенных интегралов

Из таблицы производных можно получить таблицу интегралов.

1) + С, a  - 1.

2) = ln|x| + С, X={x>0} или X={ x<0 }, но не на X=(-,0)(0,) .

3) + C, a1, =e^x+C.

4) = - cos x + C, = sin x + C.

5) , , .

6) = arctg x + C, =arctg + C.

7) =tg x + C, =- ctg x + C.

8) + C.

9) + C.

10) x dx = ch x + C, x dx = sh x + C.

11) = th x + C, = -cth x + C.

1.1.4. Замена переменного

Если F(x)– первообразная для f(x) на X т.е. =F(x)+C , функция x=(t) дифференцируема на T и определена суперпозиция = F((t))+C, тогда функция (t)=f((t))(t) имеет первообразную, равную F((t)). Таким образом,

= (формула замены переменного).

Для доказательства достаточно продифференцировать левую и правую части и убедиться, что получится одна и та же функция.

Примеры:

cos t dt = d sin t = + C =.

J = , сделаем замену x = t⁶, тогда

J=6=6=6t – 6 arctg t + C =6–6 arctg +C.

1.1.5.Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) – дифференцируемы на отрезке X и существует

dv = (x)v(x)dx, тогда существует и интегралdu и выполняется равенство

du = uv - dv (формула интегрирования по частям).

Доказательство. Пусть dv = F(x)+C. Тогда функция uv – F будет первообразной для , что можно проверить дифференцированием: . Можно было продифференцировать левую и правую части и убедится, что получится одна и та же функция.

Пример. Для интеграла x dx выберем функции: v(x) = ln x, u(x) = x, тогда

x dx =x ln x - =x ln x – x + C.

1.2. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование

Разложение дроби на элементарные. Метод неопределенных коэффициентов.

1.2.1.Предварительные сведения из алгебры многочленов

а) Если a вещественный корень многочлена , то существует единственное представление многочлена в виде

P(x) =,   1, и - многочлен, причем .

Число  называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных:  – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P(a)=…= P^(-1)(a)=0, P^()(a)0.

Доказательство этого свойства следует из формулы Тейлора для многочлена . Действительно, пусть . Очевидно, что все производные этого многочлена, начиная с порядка , будут тождественно равны нулю. Поэтому разложение функции по формуле Тейлора в точке будет иметь вид (остаток в форме Лагранжа тождественно равен нулю)

.

Если число является корнем многочлена и - порядок первой отличной от нуля производной , то

==, .

б) Если z = u + i v, v0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число= u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения: , , для действительного числа x справедливо равенство . Поэтому, если z корень многочлена P(x) = a₀+…+a_kx^k+…+ a_nxⁿ , то == ==P().

Тогда существует единственное представление многочлена в виде

P(x) = (x²+px+q)^ ,   1, Q(z)0,

(x - z)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)²+v²=x²-2ux+u²+v²= x²+px+q.

в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням

,

где A – старший коэффициент многочлена, a₁,a₂,…, a_r -действительные корни кратностей ₁,₂,…, _r , а z₁,z₂,…, z_s комплексные корни кратностей ₁,₂,…, _s. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x²+p_kx+q_k=(x - z_k)(x - ).

Определение. Рациональная функция ( отношение двух многочленов) ) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.

Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь .

, - R(x) – многочлен, дробь - правильная.

R(x) –называется целой частью, а дробь P₁/Q₁ –остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».

Пример: Выделить целую и дробную часть

Таким образом,

1.2.2.Разложение дроби на элементарные

Лемма 1. Пусть правильная дробь и a – вещественный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)^Q₁(x), Q₁(a)0,  1. Тогда существует A и многочлен P₁(x) такие, что

,

где - правильная дробь.

Доказательство: Рассмотрим разность (где A - некоторое, пока неопределенное число)

.

Дробь справа правильная, так как порядок P(x) и AQ₁(x) меньше порядка знаменателя. Положим , тогда для числителя число a будет корнем и =(x-a)P₁(x). Если это выражение поделить на Q(x), то получиться требуемое равенство.

Лемма 2. Пусть правильная дробь и z=u+iv (v0) – комплексный корень многочлена Q(x), т.е. Q(x)=(x²+px+q)^Q₁(x), Q₁(z)0, 1. Тогда существуют вещественные числа M, N и многочлен P₁(x) с вещественными коэффициентами такие, что

,

где - правильная дробь.

(без доказательства).

Определение. Дроби вида



называются элементарными.

Теорема. Пусть P(x)/Q(x) – правильная дробь, P, Q – многочлены с вещественными коэффициентами, старший коэффициент Q равен 1 и



разложение многочлена по попарно простым корням

a₁,a₂,…,a_r,z₁,z₂,…,z_s, (x - z_k)(x - )=x²+p_kx+q_k

кратностей ₁,…,_r,₁,…,_s . Тогда дробь P(x)/Q(x) может быть представлена в виде суммы элементарных дробей. В этом представлении каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей вида , а каждому сомножителю будет соответствовать сумма дробей .

Другими словами существуют вещественные числа , такие, что справедлива формула

=+…+++…+ (1.1)

Доказательство. По лемме 1

.

Таким образом, у второго слагаемого кратность корня a₁ в знаменателе понижена на единицу и к применяем лемму 1 еще раз. Повторяя эту процедуру нужное число раз, мы получим последнее слагаемое, знаменатель которого не будет иметь своим корнем a₁ .

=+.

Точно также поступаем с остальными действительными корнями знаменателя.

=+…++.

У последнего слагаемого знаменатель имеет только комплексные корни и к нему применяется лемма 2. В результате, появляется последняя серия слагаемых, соответствующих комплексным корням.

1.2.3.Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения коэффициентов разложения (1.1) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.

Пример. ,

,

1 = A(x²+4x+4)+B(x²+x -2)+C (x- 1) откуда ,

A=-B, 3A+C=0, 6A-C=1, A=1/9, B=-1/9, C=-1/3.

1.2.4.Вычисление интегралов от элементарных дробей

I. Дроби вида .

для 1 и .

II. Дроби вида .

1. 
    = 1
   

, где u=x+p/2, a²=q - p²/4. Далее ln ( u²+a² )+С.

+C.

2. 
    > 1.
   

Рассмотрим интегралы вида . Интегрируя по частям, получим

==

==.

Откуда получаем рекуррентное соотношение

, , или окончательно



позволяющее вычислять последовательно интегралы J_n , последующий по предыдущему .

Пример. Вычислить интеграл . Далее И окончательно получим .

1.3 Интегрирование некоторых иррациональностей

Интегрирование простейших иррациональностей. Дифференциальные биномы. Интегрирование трансцендентных функций.

1.3.1.Интегралы вида

Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Дифференциал от рациональной функции равен рациональной функции, умноженной на дифференциал независимого переменного.

Пример. Выражение можно представить в виде , где .

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены , m – общий знаменатель дробей ,…, (берут наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей).

Пример. Свести интеграл к интегралу от рациональной функции. В этом примере, наименьшее общее кратное m=18 и, следовательно, надо сделать замену , откуда находится . После чего находится . Интеграл такой заменой будет сведен к интегралу от рациональной функции: =.

1.3.2.Интегралы вида . Подстановки Эйлера

a) a > 0,

В этом случае ax²+bx+c=ax²+2 xt+t², откуда –рациональная функция. Таким образом, подинтегральное выражение примет вид

=R₁(t) - рациональная функция от t. Кроме того, dx=, где - также некоторая рациональная функция.

b) Корни x₁, x₂ квадратного трехчлена ax²+bx+c вещественные, тогда .

Если x₁ = x₂ , то =|x – x₁| и иррациональность отсутствует. Если x₁  x₂, то полагают и задача сводится к ранее рассмотренной.

. Наличие модуля приводит лишь к тому, что потребуется рассматривать два случая: и .

В случае вещественных корней x₁, x₂ можно так же сделать замену .

c) c>0

. Тогда ax²+bx+c= x²t²+2 xt+ с, ax+b= xt² +2t,

- рациональная функция. После замены получим

=R₁(t) - рациональная функция от t, dx=R₂(t)dt.

Этими тремя подстановками исчерпываются всевозможные случаи. Действительно, если a<0 и c<0 и действительных корней нет, то выражение ax²+bx+c=< 0 для всех x и область определения выражения пуста.

1.3.3. Интегрирование дифференциальных биномов m, n, p – рациональные числа.

Сделаем замену x=, x^m(a+bxⁿ)^pdx=. Таким образом, задача свелась к интегрированию биномов вида. Интегралы можно вычислить в следующих трех случаях:

а) p – целое (a+bt)^p t^q=R( t, t^q ).

б) q – целое (a+bt)^p t^q=R( t, (a+bt)^p ).

в) p+q – целое (a+bt)^p t^q=

1.3.4. Интегрирование некоторых классов трансцендентных функций

a) sin x, cos x ) dx

Универсальная тригонометрическая подстановка , x=2 arctg t,

sin x =, cos x = . Иногда к цели быстрее ведут подстановки t=sin x, t=cos x, .

б) sin^mx cosⁿx dx, m и n – рациональные.

Замена t = sin x ( или t = cos x ), cos x = , dt =dx, тогда

sin^mx cosⁿx dx = . Точно также для областей интегрирования, где .

в) Интегралы видаcos x dx, sin x dx, arccos x dx, ,

arcsin x dx, arctg x dx, arcctg x dx, ln x dx вычисляются методом интегрирования по частям.

1.3.5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

а) Дифференциальные биномы

(a+bxⁿ)^px^m, когда не является целой ни одна из трех дробей p, , +p.

б) Интеграл .

в) Интегралы вида , где - многочлен степени 3, 4 в ряде случаев не выражается через элементарные функции (эллиптические интегралы ). В частности, следующие интегралы не являются элементарными функциями

, , 0<k<1;

или ( после замены )

, .

</0>