МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»
В. Д. Бочкарева
Алгебра в примерах и задачах.
Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Учебно-методическое пособие
Саранск 2012
Результант. Дискриминант
Рассмотрим два многочлена натуральной степени над полем 
:
, 
.
Результантом многочленов 
и 
является определитель
.
тогда и только тогда, когда и имеют хотя бы один общий корень.
Задача 54. Имеют ли многочлены 
, 
над 
хотя бы один общий корень?
Решение. Составляем результант 
и проверяем, равен ли он 0.
, значит,
многочлены и общих корней не имеют.
Дискриминантом многочлена является многочлен 
.
тогда и только тогда равен нулю, когда многочлен имеет хотя бы один кратный корень.
Задача 55. Имеет ли многочлен 
кратные корни?
Решение. Найдем 
и построим . Если 
, то кратных корней не имеет, если 
, то имеет кратные корни.
.-
.
Следовательно кратных корней не имеет.
Системы двух алгебраических уравнений
с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Пусть даны два многочлена и от двух неизвестных 
и 
над некоторым полем .
Система уравнений
-
-
-
-
-
-
(1)
-
-
-
-
-
называется системой двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Решением такой системы называется упорядоченная пара
элементов поля , удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. Решить систему – это значит найти множество ее решений.Метод исключения неизвестного состоит из выполнения следующих шагов.
1 шаг. Выделим в многочленах
и одно из неизвестных, например, . Тогда система принимает вид:
-
(2)
Это система двух уравнений от одного неизвестного
с коэффициентами из кольца 
, где – поля:
на 
.Многочлены
и 
имеют общий корень тогда и только тогда, когда их результант равен 0.2 шаг. Находим
и смотрим, при каких значениях он равен нулю. Например, при 
.3 шаг. Подставляем значения
в систему (2):
(3) над .Многочлены
и 
имеют множество общих совпадающее с множеством корней 
.4 шаг. Находим
и все его корни. Пусть таким корнем будут 
и 
.5 шаг. Определяем все корни системы (1):
, 
.Задача 56. Решить систему в
:
.
Решение. Обозначим 
, 
.
1 шаг. Исключим из системы неизвестное :
, где 
2 шаг. Найдем результант многочленов 
и 
:
.
только при 
, 
.
3 шаг. 1) Подставляем в исходную систему:
Находим 
, единственный корень которого 
. Решение заданной системы: 
.
2) Подставляем в исходную систему:
.
Единственный корень этой системы 
.
Решение заданной системы 
.
Следовательно, исходная система имеет два решения:
и .
ЛИТЕРАТУРА
Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.-
Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с. -
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с.
Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.
Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.
Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.
Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с.
Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с.
Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.
Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с.-
Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.