ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ ОНЫҢ ГРАФИГІ

Сәрсенбай Е.Ж.

8 «А», №7 мектеп- лицейі, Жезқазған қ.

Жетекшісі: Ихашова Е.Т.


Функция ұғымын анықтау

Функция аса маңызды математикалық ұғымдардың бірі және де ол заттар мен құбылыстардың өзара байланысын бейнелейді.

Бүгінде функцияны анықтаудың әр түрлі жолдары белгілі. Солардың бірінде функция ұғымы бастапқы ұғым ретінде алынады.

Енді бірінде бастапқы ұғым ретінде бейнелеуді алалды да, функция деп бір X жиынын екінші Y жиынына бейнелеуді түсінеді. Бұл жайдайда xєX элементпен yєY болатын, бір және тек бір ғана элемент жұптүзей алынатына ерекшеленеді. Сонда функцияныз белгілеп көрсету үшін , φ, ψ және т.с.с. символдар пайдаланады. Ал X жиыны функцияның анықталу облысы және Y жиынын функцияның мәндерінің облысы деп атайды.

Анықталу облысы X және мәндерінің облысы Y болатын (x) функцияны символдар арқылы мына түрде X → Y немесе айнымалылырдың көмегімен x_xєx→y_yєy деп белгілейді, сонда функция мәнінің белгісі ү-тің орнына символын жиі қолданады. Бұл жайдайда ункцияны x→(x) түрінде белгілейді. Кейде x жиыны элементтерін функцияның аргументі деп атады да, -ті аргумент x-тің немесе анымалы x-тің функциясы дейді.


Сандық функцияның анықтамасы

Бейнелеулер, қатынастар және сәйкестіктер табиғаты әр түрлі жиындарда берілуі мүмкін екендігі белгілі, ендеше олардың дербес түрі болып табылатын функцияның да анықталу облысы мен мәндерінің облысы әр түрлі жиындар бола алады.

Ал математика курсында негізінен сандық және нүктелік жиындар қарастырылады, өйткені осы жиындарда функцияның әр түрлі қасиеттерін қарастыру өте қолайлы.

X және Y қандай да бір сандық жиындар болсын /XR, YR/.

Анықтама. X жиынында анықталған, ал мәндері Y жиынында болатын сандық функция деп ербір xєX санына бір ғана yєY санын сәйкес қоятын сәйкестікті айтады.

Сандық функцияны негізінен x→(x), xєX немесе y = (x) түрінде белгілейміз. Сонда сандық X жиыны - функциясының анықталу облысы, ал (x) түріндегі барлық сандардан тұратын, мұндағы xєX, сандық Y жиыны -тің мәндерінің жиыны болып табылады.

Және де функциясының анықтау облысын D () арқылы; ал оның мәндерінің жиының Е () арқылы да белгілейді.


Функцияның берілу тәсілдері және оның графигі

Функцияны көрсетіп беру үшін сандық X жиынды және әрбір xєX санына сәйкес келетін y санын, яғни функцияның мәнін табу үшін қолданылатын тәсілді көрсетіп беру керек болады.

Жалпы алғанда, егер әрбір xєX санына қанда да бір y саны сәйкес қойылса, онда XR жиынында сандық функция берілген дейді. Сонда әрбір y = (x), xєX функциясымен, оның мәндерімен тұратын, яғни (x), xєX, сандық YR жиыны байланысты болады.

Функцияны әр түрлі тәсілмен анықтап береді. Соның ішінде ең көп тарағы – функцияның аналитикалық тәсілмен берілуі, яғни аргументтің мәні бойынша функцияның сәйкес мәнін табу кезінде орындалатын амалдардың жиынтығын көрсететін формула арқылы функцияның берілуі. Сонда функцияның анықталу облысы көрсетіледі. Егер формула арқылы берілген функцияның анықталу облысы айқын түрде көрсетілмесе және ешқанда қосымша шектеулер келтірілмесе, онда функцияның анықталу облысы, айнымалының осы формуланың мән-мағынасы болатындай барлық мәндерінен тұрады. Мысалы:





3x-1, егер x0

y=

2x, егер x0, y=


Функцияны аргументтің мәндері және функцияның сәйкес мәндері арасындағы сәйкестік заңын сөз арқылы сипаттаудың келтіруімен де анықтап беруге болады. Осындай функциялар үшін арнайы таңбалардың да енгізілуі орынды. Мысалы: y=[x], xєR, мұндағы {x}=x-{x}, x санының бөлшек бөлігі.

Функцияны, оның графигі деп аталатын, координаттық жазықтың қандай да бір сызығының көмегімен анықтап беруге болады. Жалпы алғанда, әрбір функциямен қандай да бір сызық – осы функциның графигі байланысты. Алайда бұған кері ұйғарым әрдайым тура бола бермейді, өйткені xєX болатын x-тің берілген мәнінде оған сәйкес келктін функцияның бір ғана мәні y бар болады. Сондықтан ордината осіне параллель жүргізілген әрбір түзуде функцияның графигіне тиісті бірден артық болмайтын нүкте ғана жатуы тиіс. Мәселен, шеңбер қанда да бір функциның графигі болып табылмайды, өйткені шеңбердің екі нүктесі жататын ордина осіне параллель түзулер бар.

y

y=(x)



x

Жалпы алғанда y (x), xєX функциясының графигі деп xєX ал y= (x) болатын (x; y) парлардың; яғни (x , (x)), xєX түріндегі парлардың жиынын айтады. Осындай реттелген әрбір парға координаттық жазықтықтың абсциссасы x және ординатасы y= (x) бір ғана нүктесі сәйкес келкді. Ендеше координаттық жазықтықтың дәл осындай нүктелерінің жиыны y= (x), xєX функциясының графигін кескіндейді.

Кейбір жағдайларда, аргументің таңдап алынған мәндерінде функцияның мәндерін табуға мүмкіндік беретіндей кесте құруға болады. Осындай кестелердің мысалдары ретінде сандардың квадраттарының және кубтарының кестелерін, тригонометриялық функциялар мәндерінің кестелерін және т.б. атаған жөн. Әсіресе, X жиыны шектеулі болса, онда анымалылардың сәйкес мәндерінің кестелерін пайдаланған тым қолайлы Бұл жағдайда функция кестелік тәсіл арқылы анықтап берілген болып табылады.

Дегенмен функцияның ананлитикалық және графигтік тәсілдермен берілуі оны оқып-үйренуге өте қолайлы. Осыған орай, аналитикалық тәсілмен берілетін нақты функцияларды анықтайық. Біз оларды мынадай ретпен оқып-үйренеміз:

а/ қандай да бір функцияға киліктіретін, яғни оны енгізу себепші болатын нақты жағдайларды қарастырамыз;

ә/ функцияның анықтамасын тұжырымдаймыз және оны формуламен анықтап береміз де, осы формуланың құрамындағы параметрлерді зерттейміз;

б/ оқып-үйренетін функцияны график арқылы кескіндеп көрсетеміз;

в/ функцияның кейбір касиеттерін қарастырамыз.


Тура пропорционалдық, оның қасиеттері және графигі


t – жаяу адамның қозғалыс уақыты, s – оның жүрген жолы және ол v км/сағ жылдамдықпен бірқалыпты қозғалыста болсын делік. Сонда v тұрақты болғанда t-ның әрбір мәніне s-тің бір ғана мәні келеді және ол s= v ∙ t формуласымен есептеледі. Сондықтан s= v ∙ t формуласы, тура пропорционалдық, яғни s дегеніміз t-ға тура пропорционал, деп аталатын функцияны анықтап береді.

Анықтама. Тура пропорционалдық деп y=kx формуласыны, мұндағы, x тәуелсіз айнымалы, ал k0 және kєR, көмегімен берілетін функцияны айтады.

Бұл формула айнымалы y-тің айнымалы x-ке тәуелділігін, яғни анымалы y-тің анымалы x-ке тура пропорционал екендігін анықтап береді, мұндағы k – пропорционалдық коэффициент.

Ал y=kx функциясының қасиеттері болады.

1. Оның анықталу облысы нақты сандардың R жиыны.

2. Оның графигі координаталардың басы арқылы өтетін түзу сызық, өйткені x=0, y=0 және k0, kєR. Сонымен бірге, егер k>0 болса, онда түзу I және III координаталық ширектер ақылы өтеді, ал егер k<0 болса, онда II және IY координаталық ширектер арқылы өтеді. Графигі салу үшін бір ғана, мәселен нүктесін табу жеткілікті болып есептеледі.

y y

y=kx (k>0) y=kx (k<0)


x x


3. Егер k>0 болса, x>0 болғанда, онда y>0,

x<0 болғанда, онда y<0.

Егер k<0 болса, x>0 болғанда, онда y<0,

x<0 болғанда, онда y>0.

4. Егер k>0 болса, онда R жиынында өседі, ал k<0 болса, онда кемиді.

5. Егер x және y айнымалылардың мәндері оң сандар болса, онда x айнымалы мәндері бірнеше есе артса y айнымалы мәндері де сонша есе артады, яғни болады.

Кері пропорционалдық, оның қасиеттері және графигі


s – жаяу адам жүріп өтуі тиіс қашықтық, t – қозғалыс уақыты, ал v – оның жылдамдығы болсын делік. Сонда жылдамдықтың әрбір мәніне уақыттың бір ғана мәні сәйкес келкді. Олай болса, формуласы, кері пропорционалдық, яғни t дегеніміз v-ға кері пропорционал, деп аталатын функцияны анықтап береді.

Анықтама. Кері пропорционалдық деп формуласының, мұндағы x – тәуелсіз айнымалы, ал k0, kєR көмегімен берілетін функцияны айтады.

Бұл формула айнымалы y-тың айнымалы x-ке тәуелділігінің, яғни айнымалы y-тің айнымалы x-ке кері пропорционал екендігін анықтап береді, мұндағы k – пропорционалдық коэффициент.

Ал функциясының қасиеттері болады.

1. Оның анықталу облысы нақты сандардың R жиыны, бірақта k