Тіркеу формасы
1. Тегі: Ахметова
2. Аты: Меруерт
3. Әкесінің аты: Ерлан
4. Сынып: 9Ә
5. Мектеп: Қ. Ш. Шыңғысов атындағы №5 орта мектеп
6. Тұрғылықты жері: Жезқазған қаласы
7. Ғылыми жетекші: Мамыхова Гулмира Есентайқызы
8. Секция: Математика тарихы
9. Тақырыбы: Ескілікті ермек есептер
10. Тілі: Қазақша
11. Техникалық жабдықтар қажет пе: иа
ЕСКІЛІКТІ ЕРМЕК ЕСЕПТЕР
Ахметова М.Е.
9Ә. №5 мектеп Жезқазған қ.
Жетекші: Мамыхова Г. Е.
Математикалық ермек-есептердің әзіл түрінде, қызықты есептер, шым- шытырық болып келген есептер, сандарды табу тағы басқа тапқырлыққа берілген есептер түрінде түрліше болып кездесуі атам заманнан белгілі. Олардың іздерін ежелгі мысырлықтардың, қытайлықтардың, гректердің, үнділердің, арабтардың тағы басқа халықтардың ескілікті документтерінен табуға болады. Есептің бұл түрінің дамуы математиканың жалпы дамуымен қатар жүріп отырды және білмекке құштарлық, адамзат ақылының әр нәрсенің себебін білуге ұмтылуы, әдеттен тыс ғажайыпқа әуестік, әзіл- қалжыңға орын беру, жақсы ақыл- ой қызметінің нәтижесінде сезінетін қанағаттанушылық пен қуаныш тәрізді әр түрлі факторлармен байланысты болды.
Тапқырлыққа берілген ондаған, тіпті жүздеген математикалық есептер ұрпақтан- ұрпаққа, ауыздан- ауызға, бір халықтан екінші халыққа, бір кітаптардан басқа бір кітаптарға ауысып отырды.
Ежелгі вавилондықтардың табылған сына жазулы текстеріне қарағанда кейбір көбейту формулалары (қосындының квадраты, айырманың квадраты, қосындының айырмаға көбейтіндісі) тіпті бұдан 4000 жылдай бұрынғы кездің өзінде-ақ белгілі болған. Вавилондықтардан басқа да ертедегі халықтар бұл формулаларды әрине, бізше, символикалық түрде емес, сөзбен баяндалған түрінде немесе мысалы, ертедегі гректерше, геометриялық формада білген.
Ежелгі Греция ғалымдары шамаларды сандар немесе әріптер арқылы өрнектемей, түзу кесінділері арқылы кескіндеп көрсеткен, ал кесінділерді бір әріппен немес олардың ұштарына қойылған екі әріппен белгілеген.
Егер де тарихқа үнілетін болсақ, практикалық есептерді шығарудың алгебралық әдістерінің бастамасы ежелгі ғылым әлемімен байланысты. Сол кездің өзінде де теңдеулер құруды талап ететін есептер пайда бола бастады. Алғашқыда мұндай есептерді шығару үшін арифметикалық әдістер қолданылды. Одан әрі алгебралық жағын қарастыру қалыптаса бастады. Төменде осы теңдеулер арқылы шығарылатын тарихи есептерді және «ойлаған санға» берілген есептердің бірнешеуін келтіріп, тиісті алгебралық теңбе- теңдіктерді құра отырып, шешу тәсілінің мәнісін түсіндіремін.
№1.
Жұп сан ойлан, оны үшке көбейт, шыққан көбейтіндінің жартысын қайтадан үшке көбейт. Шыққан санда неше тоғыздық барын сұра. Ойлаған санды табу үшін әр тоғыздықты екілікпен ауыстыру керек.
Шешуі: Ойлаған сан 16 болсын. Көрсетілген амалдарды бірінен- соң бірін орындай отырып, мынаны аламыз:16
3
48; 48
; 
.
. Ойлаған санда 8 екілік бар (
).
Есеп және оның шешуі мынадай алгебралық теңбе-теңдікке келтіріледі, мұнда ойлаған сан 2х арқылы белгіленеді:
Сөйтіп, есепте сөз болып отырған тоғыздықтар саны әрқашан х- ке тең, яғни ойлаған санның өзінің жартысына тең. х-тің мәнін тауып, біз ойлаған 2х санын оңай «ойлап табамыз».
№2
Бір таңбалы төрт сан ойлаймыз. Біріншісін 2-ге көбейтеміз де оған 5-ті қосамыз; шыққан санды 5-ке көбейтіп, оған 10 мен екінші санды қосамыз; шыққан нәтижені 10-ға көбейтіп, үшінші санды қосамыз; жаңа нәтижені қайтадан 10-ға көбейтіп, төртінші санды қосамыз. Соңғы нәтижеден
3500-ді шегереміз, сонда төрт цифрдан тұратын шыққан айырма рет-ретімен ойлаған сандарды көрсететін сан болады.
Шешуі: Ойлаған сандар 7;3;5;2. Сонда шығатыны:
;
10852-3500=7352
Жауабы: 7352
Тиісті алгебралық теңбе- теңдікті құру үшін ойлаған санды a ,b, c, d арқылы белгілейік.
Сонда шығатыны:
.
3500 санын шегергеннен кейін 1000a+100b+10c+d саны шығады, мұнда ондық позициялық санау системасында жазылу керегі де осы abcd еді.
№3
Бір сан ойла, оны 2- ге көбейт , сонан кейін өзін қалаған санды оған қос, нәтижесін 2- ге бөл және бөліндіден ойлаған санды шегер. Осыдан кейін қосқан саныңның жартысын ата. Осы сан өзіңнің ойлаған саның болып шығады.
Шешуі: Ойлаған сан 5. Санды ойлаған адам 3 санын атайды. Сонда шығатыны: 
1,5.
Алгебралық түрде: 
.
№4
Екі әке мен екі ұлға, әрқайсысынына бүтін алмадан тиетіндей етіп 3 алманы бөліп беру керек.
Шешуі:Поликрап, Сидор және Карп. Поликарп- Сидордың әкесі, Сидор – Карптың әкесі.
3+х=4
x=1
Жауабы:1. Бір- бірден тиеді.
№5
11 күміс жамбының салмағы қанша болса, 9 алтын жамбының салмағы сонша. Егер бір-бірден жамбыдан орындарын ауыстырса, онда алтын және күміс жамбылар салмақтарының айырмасы 13 лан болды. Сонда алтын жамбы мен күүміс жамбының әрқайсысының салмағы қандай?
Шешуі: Күміс жамбының массасы- х
Алтын жамбының массасы- у
Жауабы: 
лан, 
лан.
№6
Бір адам бір ұстазға келіп, неше шәкірттің бар, ұлымды саған оқытуға бергім келіп еді депті. Сонда ұстаз тұрып: егер маған өзімде қанша шәкірт бар болса, соншасы және оның жартысы, сондай- ақ ширегі, оның үстіне сенің ұлың келсе, менде шәкірт саны 100 болар еді деп жауап беріпті. Ұстаздың неше шәкірті болған?
Шешуі: х+х+
22x=792
х=36
Жауабы: х=36 шәкірті болған.
№7
осы есепті ауызша шығар.
Шешуі: Ол үшін ең бірінші шапшаң шығару үшін тиімді тәсілді қолданамыз.
Жауабы: 2.
№8
Бір кісінің зайыбына, қызына және үш ұлына қалдырған мұрасы 48000 сом еді және осы сомның 
бөлігін зайбына деп, қызына қарағанда әрбір ұлына екі есе артық тиетін болсын деп өсиет еткен еді. Мұрагерлердің әрқайсысына қаншадан тиген?
Шешуі:
зайыбына 
Қызына- х
3 ұлына – 6х
Әрқайсысына-?
7х+6000= 48000
7х=42000
х = 6000
Әр ұлына 
=12000
Жауабы: 6000- қызына, 6000-зайыбына, әр ұлдарына - 12000.
№9
Жүз санын нөлсіз жазу керек.
Шешуі:
Жауабы:
№10
Ахмес папирусындағы есеп: 7 адамның әрбіреуінде 7 мысық бар, әр мысық 7 тышқан жейді, әр тышқан 7 масақ жейді, ал әр масақтан 7 мера
астық өсіруге болады. Осы қатардағы сандардың әрқайсысының шамасы және олардың қосындысы қандай?
Шешуі:
,
, 
,
=?
S
=?
Геометриялық прогрессияның формулалары арқылы 
;
Жауабы: =49 ,=343, =2401 ,=16807 ,
.
№11
Бір санның 
-і мен осы санның 
-нің көбейтіндісіне тең санның шамасы?
Шешуі:
Жауабы: 
№12
Мөлшер мен оның төрттен бір бөлігін бірге алғанда 15 болады.
Шешуі: Бұл есепті шешетін болсақ:
Жауабы: х=12 .
№13
Сан және оның жартысы 9 болады. Санды табу керек.
Шешуі:
Жауабы: х=6.
№14
Шешуі:
Жауабы: х
.
№15
«Егер бір санды 20-ға қоссақ және сол санды 100-ден алсақ, сонда шыққан қосынды сонда шыққан айырмадан 4 есе артық болады. Белгісізді табу керек.»
Шешуі:
20+x=(100+x)4
20+x=400-4x
5x=380
x= 76 Жауабы: x= 76
№16
«Тасаттық берген төрт адамның екіншісі біріншісінен 2 есе артық берді, сонда олардың барлық бергені 132 болды. Біріншісі қанша берді?»
Шешуі: x+2x+6x+24x=132
33x=132
x=4
Жауабы: x=4.
№17
«7 қарт адам келе жатты, әр қарттың қолында жеті балдақ бар, әр балдақта 7 бұтақ, әр бұтақта 7 дорба, әр дорбада 7 самса, әр самсада 7 торғай бар. Барлығы қанша?»
Шешуі:
Табу/керек-,, ,, 
=?
S
=?
Геометриялық прогрессияның формулалары арқылы 
;
Жауабы: =49 ,=343, =2401 ,=16807 , 
, 
.
№ 18
«1-ден 100-ге дейінгі барлық натуралдық санды қосу керек.»
Шешуі:
Жауабы: барлығы – 1050.
№19. Эйлер есебі.
Бір санның 4-ші дәрежесін сол санның жартысына бөлгенде және 
ге
арттырғанда 100-ге тең болу керек. Сол санды тап.
Жауабы: 
;
№20. Үш адам 24000 ливрға үй сатып алғысы келді. Олар былай келісті: біріншісі жарты ақшасын береді; екіншісі үштен бірін береді, ал үшіншісі қалған бөлігін береді. Әрқайсысы қанша бермек?
I-ші: 
II-ші: 
III-ші: 
№21. Бір топ қаз ұшып барады, оларға бір қаз қарсы ұшып келе жатып: «Жүз қазға бір сәлем!» - депті. Топ қаз оған былай деп жауап беріпті: «Жоқ біз жүз емеспіз! Егер бізге тағы осынша қосылса, тағы соның жартысындай, тағы соның ширегіндей, оның үстіне сен қазым, бізге қосылсаң, біз тура жүз қаз боламыз» Олар қанша болған еді?
Шешуі: қаз саны – х
Жауабы: 
қаз.
№22. Бехаэддин есебі.
Өзінің үштен екісіне және бірлікке арттырылған сан 10-ға тең. Сол санды табу керек.
Шешуі: Ізделінді сан – х
Жауабы: 
.
№23. «Үш адам ақша ұтып алған. I адамға осы соманың 
і, II адамға осы
соманың 
і, III адамға 17 флорин тиді. Ұтыстың шамасы қандай болған?»
Шешуі: Ұтыс шамасы – х
Жауабы: 
флорин.
№24. «Бір адам жыл аяғына дейін киім және 10 флорин алмақшы болып жалданды. Бірақ 7 ай өткен соң жұмысты тоқтатты да, есеп айырысқанда киім және 2 флорин ақша алды. Киім қаншаға бағаланған?»
Шешуі: киім – х
1 жылда – 
айға = 1,6
1,6 · 12 = 19,2 ( 1жылда)
х + 10 = 19,2
х = 9,2
Жауабы: 9,2.
№25. «Тоғыз кітаптағы математикадан» есеп. Бірнеше адам бірлесіп тауық сатып алған. Егер әр адам 9-дан (ақша бірлігі) берсе, онда 11 қалады, ал егер әрқайсысы 6-дан берсе, 16-сы жетпей қалады. Адам саны мен тауықтың құнын табу керек».
Шешуі:
№26. «Егер бір санды 20-ға қоссақ және сол санды 100-ден алсақ, сонда шыққан қосынды сонда шыққан айыпмадан 4 есе артық болады. Белгісізді табу керек.»
Жауабы: 60.
№27. Акмим папирусынан (VI ғ. ) есеп: «Бір адам қазынаның 
- ін алды. Одан қалғанының 
- ін екінші біреу алды. Ол қазынада 150 қалдырды. Әуелде қазынада қанша болғанын білгіміз келеді?»
Барлығы – х
І - х
ІІ - 
Қалды – 150
Жауабы: х=
ұлды болды. Әкесінің жарты жасына келгенде ұлы дүние салды, бұдан кейін Диофант тек 4 жыл ғана өмір сүрді. Диофант неше жыл сүрген еді?»
Өмірі – х
Балалық шағы - 
х
Баласыз - 
х
Жастық шағы - 
х
Ұлды - 
;
Ұлы дүние салды - 
;
Өзі дүние салды - 
;
Жауабы: Диофант 84 жыл өмір сүрді.
№29. «Көпестің жинақтаған азды-көпті ақшасы бар еді. Ол жыл сайын семьясының қажетіне 100 фунт ақша ұстап, қалған ақшасына оның үштен біріндей ақша қосып отыратын. Үш жыл өткеннен кейін ол қаражатының екі есе көбейгендігін байқады. Әуелде оның қанша ақшасы болған еді?»
Бар еді – х
Бір жылдан соң қолында қалды – х – 100
Үш жылдан соң болды - 
;
Жинақталған ақшасы әуелгі ақшасынан екі есе артық болды.
Шешуі:
Жауабы: Әуелдегі ақшасы 1480 фунт.
№30. «Бақташы 70 өгіз айдап келеді. Оған мынадай сұрақ берілген: Үлкен табынының бұл айдап келе жатқаның қанша?
Бақташы жауабы:
− Табындағы барлық малдың үштен бірінің үштен екісі.
(Бүкіл табында қанша өгіз болғандығын білу керек.)
Шешуі:
Жауабы: Бүкіл табында 
өгіз болған.
№31. Ежелгі римдік есеп. ІІ ғ. «Бір адам өлерінде былай деп өсиет қалдырған: егер әйелім ұл тапса, онда оған имениемнің 
- сі, ал әйеліме қалған бөлігі берілсін. Егер қыз туса, онда оған 
- і, ал әйеліме - сі берілсін. Егіз бала – қыз және ұл туды. Имение қалай бөлінуі керек?»
Жауабы: Ұлы әйелінен екі есе көп үлесін, әйелі – қызынан екі есе көп үлесін алуы тиіс. Имениені ұлы, әйелі және қызына 4:2:1 сандарына тура пропорционал етіп бөліп берген жөн.
№32. Бір адам өзінің досына: «Маған 100 рупий бер, сонда мен сенен екі есе бай боламын» - депті. Досы былай деп жауап береді: «Сен маған тек 10 рупий бер, сонда мен сенен 6 есе бай боламын». Әрқайсысында қанша болған?
Шешуі:
I адам – х
ІІ адам - у 
Жауабы: 40және 170;
№33. «Екі санның айырмасы екіге тең, ал олардың қатынасы екіге кері санға тең. Осы сандарды табу керек».
Жауабы: 4; 2.
№34. «Репетитор» деген әңгімесінде ұлы орыс жазушысы А.П.Чехов мынадай есеп келтіреді: «Көпес 138 кез қара және көк шұғаны 540 сомға сатып алды. Егер бір аршын көк шұға 5 сом, ал қара шұға 3 сом тұрса, әрқайсысынан неше кез мата алған?»
Жауабы: 75;63.
№35. XVI ғасырдағы иран ғалымы Бехаэддиннің есебі: «10 санын айырмасы 5 болатын екі бөлікке бөлу керек».
Жауабы: 7,5;2,5.
№36. «Екі санның қосындысы 10-ға, ал қатынасы 4-ке тең екенін біле отырып, сол сандарды табу керек».
Жауабы: 8;2.
№37. Евклид «Бастамаларының» ІІ кітабында берілген теңбе-теңдікті тексеру.
№38.
№39.
№41. 
№42. Диофанттың «Арифметикасында» баяндалған бөлшектермен берілген мына амалдарды тексеру керек:
№43.
№44. 
№45. 
№46.
Штифельдің «Арифметикасында» берілген бөлшектерге қолданылған мына амалдарды орындаңдар:
№47. 
№48. 
№49. 
№50. 
№51. Ньютонның «Жалпыға бірдей арифметикасынан» бөлшектерді қысқарту.
№52. 
Қорытынды.
Математиканың күнделікті адам өміріндегі мәні орасан зор.
Пайдаланылған әдебиеттер.
Г. И. Глейзер. «Мектептегі математика тарихы»
Республикалық ғылыми-әдістемелік журнал «Математика» №6. 2008.
Журнал «Математика Қазақстан мектебінде» №6 2008, №5 2008.
Энциклопедия для детей: «Математика».
Ларычев П. А. «Алгебра есептер жинағы»-
«Математика мен математиктер жайындағы әңгімелер» ІІ том М.О. Ысқақов С.Н Назаров.