girniy.ru 1


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Сёмкин А.Д.

6Б, гимназия № 9, г.Караганда

Рук. Попова М.В., Волынская О.С.


Процесс познания человеком окружающего мира можно сравнить с радостным торжеством, ибо каждая раскрытая тайна укрепляет веру в свои силы. Но на пути победоносной человеческой мысли возникают большие, казалось бы непреодолимые, преграды, перед которыми бессильными умозаключения. Одной из таких преград можно считать софизмы.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочно чертежа.

История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками.

Иван Петрович Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Формулируется эта аксиома, как известно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом геометрии, многие выдающиеся математики разных времен и разных народов. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства», какие были найдены, оказались ошибочными.


И все же, несмотря на ошибочность этих доказательств, они принесли пользу развитию геометрии. Были основательно выяснены связи между различными теоремами геометрии. Можно сказать, что эти доказательства подготовили одно из величайших открытий в области геометрии и всей математики – открытие новой неевклидовой геометрии Лобачевского.

Н.И.Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому о параллельных, но скоро понял, что это сделать нельзя. В 1826 году он установил невозможность доказательства аксиомы параллельных и пришел к открытию новой геометрии.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать? Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает необходимые в жизни навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает повторение её в дальнейшем в других математических рассуждениях. Разбор софизмов помогает осознанному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Когда изучающий математику разбирает софизм, он знает, что может попасть в западню, и поэтому старается обезвредить её. Чтобы не попасть в ловушку, приходится очень внимательно продвигаться вперед и каждый шаг делать с большей осторожностью. Вопрос стоит так: кто кого подчинит себе, софизм ли разбирающего его, или наоборот. Значит математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Всё это нужно и полезно.

Имеется много разных книжек, в которых собраны различные софизмы. Большинство софизмов известно очень давно, и можно найти в различных сборниках, журналах. Некоторые из них передаются устно из поколения в поколение.

Целью данной работы было классифицировать различные виды софизмов и дать характеристику наиболее часто встречающимся ошибкам.


Задачи:


  1. Найти и систематизировать информацию о софизмах в учебной, научно-популярной, энциклопедической литературе и интернет- источниках.

  2. Классифицировать софизмы и наиболее часто встречающиеся ошибки.

  3. Составить электронный сборник наиболее интересных софизмов для учащихся 6 классов.

Теоретическая и практическая значимость: использование электронного сборника софизмов на уроках и прикладных курсах по математике в классах естественно-математического профиля гимназии, а также для самостоятельного разбора учащимися среднего звена.

Методы исследования: сравнительный анализ, обобщение, практический (разработка мультимедийного приложения).

Примеры алгебраических софизмов


Пример 1. 2 · 2=5

Имеем верное числовое равенство 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждом части его общий множитель.

Получим 4(1 : 1)=5(1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или 2*2=5.

Где ошибка?

Нельзя выносить множитель за скобки, как это сделано в равенстве.


Пример 2. 5=6
Возьмём числовое тождество: 35+10-45=42+12-54.

Вынесем общие множители правой и левой частей за скобки.
Получим 5(7+2-9)=6(7+2-9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель, заключённый в скобки. Получаем 5=6.

В чём ошибка?


Пример 3. 1=2

Запишем справедливое равенство: 1-3 = 4-6.

Добавив к обеим частям этого равенства число 9/4, получим новое равенство , в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.


Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство: , откуда следует, что 1=2.

Ошибка: неправильное извлечение корня из квадрата


Пример 4. Все числа равны между собой

Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b. Запишем для них очевидное тождество: а2-2ab+b2 = b2 -2ab+ а2 .

Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать

(а-b)2 = (b-а)2. (1)

Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим: a-b = b-a (2) или 2а = 2b, или окончательно a=b.

Где ошибка?

По определению : a + c = b

Значит, a + cb = 0

И выражение a(a + cb) = b(a + cb)

Тождественно a ∙ 0 = b ∙ 0.

(В работе рассмотрено 30 различных софизмов)



Классификация ошибок в софизмах.

  1. Логические

Силлогизм (гр.) - одна из форм дедуктивного умозаключения в формальной логике, когда из двух данных суждений (посылок) вытекает третье (заключение), например, все люди (М) - существа, обладающие разумом (Р), Иван (S) - человек (M), следовательно, Иван (S) - обладает разумом (P). Суждения, содержащие термин, который не входит в заключение (средний термин, в нашем примере обозначенный М), являются посылками силлогизма. Посылка, содержащая в себе предикат заключения (больший термин, Р), называется большей посылкой и посылка, которая содержит субъект заключения (меньший термин, S), называется меньшей посылкой. Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической форме, то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:


  • Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа»;

  • Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы — против наказания её, значит, вы находите её невинной»;

  • Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено»;

Особенно распространённая ошибка употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы — простые тела, бронза — металл: бронза — простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.


  1. Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое quaternio terminorum предполагает такое словоупотребление); наиболее характерные:

Ошибка гомонимия (aequivocatio). Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.

Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. «Все углы треугольника < π» в том смысле, что «каждый угол < π».

Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = π» в смысле «сумма углов треугольника = π».

Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько пять плюс два умножить на два?» Здесь трудно решить имеется ли в виду 9 (т.е. 5 + (2 * 2)) или 14 (т.е. (5 + 2) * 2).


В устную речь математиками введены такие слова как «сумма», «произведение», «разность». Так 5 + 2 * 2 — сумма произведения два на два и пятерки, а (5 + 2) * 2 — удвоенная сумма двух и пяти.

Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:

Petitio principii: введение заключения, которое требуется доказать, в скрытом виде в доказательство в качестве одной из посылок. Если мы, например, желая доказать безнравственность материализма, будем красноречиво настаивать на его деморализующем влиянии, не заботясь дать отчёт, почему именно материализм — безнравственная теория, то наши рассуждения будут заключать в себе petitio principii.

Ignoratio elenchi заключается в том, что мы, возражая на чье-нибудь мнение, направляем нашу критику не на те аргументы, которые ему принадлежат, а на мнения, которые мы ошибочно приписываем нашим противникам.

A dicto secundum ad dictum simpliciter подменяет утверждение, сказанное с оговоркой, на утверждение, не сопровождаемое этой оговоркой.

Non sequitur представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.


3. Психологические

Психологические причины бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность С. поэтому предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность С. зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.



4. Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося С., ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio) и т. п. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего С.: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через a.


5. Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями, и т.д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через c, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d. Argumentum ad hominem, вводящий в спор личные счёты, и argumentum ad populum, влияющий на аффекты толпы, представляют типичные С. с преобладанием аффективного элемента.


6. Волевые причины

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой — императивный — элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определённая мимика и т. п. (e) действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы. С другой стороны, пассивность (f) слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Таким образом, всякий С. предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: a + b + c + d + e + f. Успешность С. определяется величиной этой суммы, в которой a + c + e составляет показатель силы диалектика, b + d + f есть показатель слабости его жертвы. Прекрасный психологический анализ софистики даёт Шопенгауэр в своей «Эристике» (перев. кн. Д. Н. Цертелева). Само собой разумеется, что логические, грамматические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой; поэтому С., представляющий, например, с логической точки зрения quaternio ter.



7. Терминологические ошибки

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы наиболее характерные:

Ошибка омонимия. Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.

Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника < р в том смысле, что сумма < р.

Ошибка разделения, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = р» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».

Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько будет дважды два плюс пять?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (2 * 2) + 5 или 2 * (2 + 5).


Пытливая человеческая мысль проявляла неисчерпаемую находчивость, изворотливость и силу, отвоевывая её тайны. То, что казалось очевидным, часто оказывалось ошибкой. Люди наблюдают, как "Солнце вращается вокруг Земли", в действительности это движение есть зрительное следствие движения Земли вокруг Солнца и своей оси. А сколько неправильной информации поступает от наших органов чувств, когда оцениваются расстояния, размеры тел, отрезки времени, положение предметов в пространстве, их цвет.

      Чтобы избежать подобных ситуаций человек с первых шагов своей деятельности прибегает к другому методу познания мира, который помогал не только критиковать, но и корректировать познания через органы чувств. Этим методом стало мышление. Только благодаря мышлению удаётся объяснить и уточнить факты, выявленные в результате наблюдений и опытов. Высшей формой умственной деятельности человека есть теоретическое мышление. Среди различных теоретических методов познания мира наиболее мощным стал математический метод


Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. Такой подход способствует пониманию того, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.

Выдающийся французский философ и математик Пьер Гассенди (1592 - 1635) писал: "Тот, кто с детства проникся математикой, усвоив её непростые доказательства, так подготовлен к принятию истины, что легко отбросит любую фальшь."

Литература





  • Аменицкий Н. Математические развлечения и любопытные приемы мышления. – М., 1912

  • Горячев Д. Н., Воронец А. М. Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики. – М., 1903

  • Ивин А.А. Строгий мир логики. — М., 1988.

  • Литцман В., Трир Ф. Где ошибка? – СПб., 1919

  • Лямин А. А. Математические парадоксы и интересные задачи. – М., 1911

  • Мадера А.Г., Мадера Д.А. Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003

  • Обреимов В. И. Математические софизмы. – 2-е изд. – СПб., 1989.