girniy.ru 1

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министрлігі

Қарағанды қаласының №86 жалпы білім беретін орта мектебі


Бағыты: Математика

Секция: Математика

Тақырыбы: Натурал сандардың 7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілері


Орындаған: Күлейменова Дамира Нүркенқызы

5 Г сынып оқушысы

Жетекшісі: Рыскелдиева Гүлмира Қанатбекқызы

№86 мектептің математика пәнінің мұғалімі


Қарағанды – 2009

Аннотация

Оқушының аты-жөні:
Күлейменова Дамира Нүркенқызы

№86 жалпы білім беретін орта мектептің 5 сынып оқушысы.

Ғылыми жобаның тақырыбы: Натурал сандардың 7 -ге, 11-ге

бөлінгіштік белгілері

Ғылыми жобаның мақсаты:


  • Натурал сандардың бөлінгіштік белгілерін зерттеп, қарастыру.

Зерттеу кезеңдері:

  • тақырыпты негіздеу, мақсаттары мен міндеттерін айқындау



  • тақырыпқа байланысты теориялық жадығаттар жинақтау, әдебиеттерге шолу жасау, талдау;



  • натурал сандардың 7-ге бөлінгіштік белгісін қарастыру;



  • натурал сандардың 11-ге бөлінгіштік белгісін қарастыру;



  • алынған нәтижелер бойынша есептер жинағын құру, жинақтау;



  • жұмысты қорытындылау.



Зерттеудің жаңашылдығы:

Натурал сандардың бөлінгіштік белгілерін пайдаланып 7-ге, 11-ге бөлінгіштігі көрсетілді.

Жұмыс нәтижелері мен қорытындылары:

Жинақталған мәліметтер мен алынған нәтижелер бойынша натурал сандардың 7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілерінің кейбір есептерінің моделі жасалынып, зерттеліп, қорытындыланды.

Практикалық маңыздылығы: Натурал сандардың бөлінгіштік белгілерін пайдаланып сандарды жай көбейткіштерге жіктеуге және ең кіші ортақ еселігін, ең үлкен ортақ бөлгішін табуға болады.


Мазмұны

Кіріспе...................................................................................................................1

Зертеу бөлімі.........................................................................................................3

§1. Сандардың бөлінгіштік белгісі......................................................................3

§2. Натурал сандардың 7-ге бөлінгіштік белгісі...............................................5

§3. Натурал санның 11-ге бөлінгіштік белгісі................................................... 7

§4. Бөлінгіштік белгілеріне есептер жинағы мен ұсыныстар...........................8

Қорытынды............................................................................................................12

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі........................................................................13


Кіріспе

Натурал сандардың 2,3 және 5 сандарына бөлінгіштік белгілері ерте кезден

белгілі болған. 2-ге бөлінгіштік белгісін ерте египеттіктер б.э.д. екі мың жыл

бұрын білген, ал 9-ға бөлінгіштік белгісін б.э.д. үшжүзінші жылдары гректер

білген. Алғаш рет 2,3 және 5 сандарына бөлінгіштік белгісін Италия

математигі Леонардо Фибоначчи толық талқылап,жазып кеткен. Атақты

француз математигі және физигі Блез Паскаль жас кезінде бөлінгіштік

белгісінің жалпы түрін қорытып шыққан. Біз натурал сандардың 2, 3, 9 және

5 сандарына бөлінгіштік белгілерін қарастырған кезде натурал сандардың

басқа бөлінгіштік белгілері бар ма екен? -деген сұрақ туындады.

Осы ғылыми жобаны жасау барысында төмендегідей

мақсатты алға қойдым:


  • натурал сандардың бөлінгіштік белгілерін зерттеп, қарастыру.

Аталған мақсатқа жету үшін төмендегідей міндеттерді алға


қойдым:


  • тақырыпты негіздеу, мақсаттары мен міндеттерін айқындау;



  • тақырыпқа байланысты теориялық жадығаттар жинақтау, әдебиеттерге



шолу жасау, талдау;



  • натурал сандардың 7-ге бөлінгіштік белгісін қарастыру;



  • натурал сандардың 11-ге бөлінгіштік белгісін қарастыру;



  • алынған нәтижелер бойынша есептер жинағын құру, жинақтау;



  • жұмысты қорытындылау.



Ғылыми жоба жұмыстарын орындау барысында математикалық есептеу

жұмыстары мен модельдеу, талдау әдісі тәрізді жалпы ғылыми әдістер

қолданылды. Бұл әдістердің сипаттамалары зерттеу бөлімінде баяндалады.


Зерттеу бөлімі

§1. Сандардың бөлінгіштік белгісі

Екі натурал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісін әрқашанда

натурал сандар, бұл жағдайды кейде қосу, азайту, көбейту

амалдарына қатысты натурал сандар жиынының «тұйықтығы» деп

атау қабылданған.

Бөлу амалын қарастырсақ. Бүтін сандарды бір-біріне бөлу,

әрқашанда бүтін сан болмайды, яғни сандардың тұйық жиыны

болмайды.

Сондықтан сандарды бөлуге қатысты жағдайларды

қарастырғанда,екі санның бөлінгіштігі туралы сұрақ туындайды.

Енді біз жұмыста «сан» деген сөзді «бүтін сан» ұғымы ретінде

қабылдап отырамыз. Бізге белгілі бүтін теріс емес сандарды натурал

сандар деп айтқанда барлық натурал сандар жиынын айтамыз.

Анықтама Егер a=b·c теңдігі орындалатын a саны

табылатын болса, онда a саны b санына бөлінеді деп айтамыз.

Бұл жағдай a санының b санына бөлінгіштігі деп аталып,


былай белгіленеді: a:b

a:b жазылуы a және b сандарына қатысты тұжырым

жасаланатындығын білдіреді. a және b сандарының қандайда бір

болуына байланысты a:b тұжырымы дұрыс немесе дұрыс емес болуы

мүмкін. Мысалы:

4:2-дұрыс; ал 4:3-дұрыс емес.

a:b тұжырымы ақиқат немесе ақиқат еместігін білу үшін біз a санын

b санына бөліп анықтауымыз қажет. Бірақ, дегенмен үлкен a cанын b

санына бөлу барысында бізде қалдық қалуы мүмкін

Ал бізде a санын b санына бөлген кезде қалдық нөлге тең немесе

жоқ болуы тиіс. Сондықтан басқа бөлу жұмыстарын жүргізбеу үшін

бізге сандардың бөлінгіштік белгілері керек.

Біз сандардың бөлінгіштік белгілерінің кейбіреулерін, мысалы 2-ге;

5-ке; 10-ға; 3-ке және 9-ға бөлінгіштік белгілерін оқулықтан оқып, білеміз.


§2. Сандардың 7 –ге бөлінгіштік белгісі

Кейбір кезде «берілген сан тағы да басқа бір санға бөліне ме

екен?» деген сұрақ туындайды. Мұндай кезде көптеген есептеулер

орындалмай-ақ сан қалдықсыз бөлінетін бөлінгіштік белгісін

қолданған жөн. Мүмкіндігінше шарт оңай болу керек және тексеру

бөлуден қиын болмауы тиіс. Бөлінгіштік ішінде ең қиыны 7-ге

бөлінгіштік белгісі. Біз бұл жұмысымызды қарастырып көрейік.

Қарастырып отырған санды оң жағынан бастап басынан екі цифрдан

бөліп шығамыз. Шыққан екі орынды сандарға кезегімен 7-ге бөліп, бөлгеннен шыққан қалдықты 2–ге көбейтеміз және мәнін ретімен

санға қосамыз. Санды 7-ге бөліп, қалдықты 2-ге көбейтеміз де үшінші

санмен қосамыз, тағы сол сияқты жалғастырамыз. Егер қосындының мәні 7-ге бөлінсе,онда қарастырып

отырған сан 7-ге бөлінеді.

Мысалы:


1-мысал: 1 43 94 73 санын қарастырайық

1·2=2 2+43=45 45:7=6(3қ) 3·2=6 6+94=100 100:7=14(2) 2·2=4 73+4=77 77:7=11

Бұл белгі мына теңдеуге негізделген

10+1=7 · 11 · 13

2-мысал: 46 14 61 саны 7-ге бөлінеді,себебі:

46:7=6(4) 4·2=8 8+14=22 22:7=3(1) 1·2=2 61+2=63 63:7=9


3-мысал: 62 98 33 саны 7-ге бөлінбейді, себебі:

62:7=8(6) 6·2=12 12+98=110 110:7=14(12) 12·2=24 33+24=57

57:7=8(1)

Мысалы:

8 92 13 =8 92 13

8:7=1(1қ) 1 · 2=2 92+2=94 94:7=13(3қ) 2 · 3=6 13+6=19

19:7=2(5қ)

8 92 13 санын 7-ге бөлгенде 5 саны қалдық ретінде қалады.

Енді санның 7-ге бөлінгіштік белгілерінің бірін, Паскаль белгісін қарастырып көрейік. Егер а санының цифрларын b санының разрядтық бірліктеріне бөлгендегі қалдықтарға көбейтіндісінің қосындысы b-ға бөлінсе, а натурал саны b натурал санына бөлінеді.

Мысалы, 6741 саны 7-ге бөлінеді, себебі 6·6+7·2+4·3+1=63

Бұл жердегі 6 саны 1000-ды 7-ге бөлгендегі , 2 саны 100-ді 7-ге

бөлгендегі , 3 саны 10-ды 7-ге бөлгендегі қалдық.

Ал 3543 саны 7-ге бөлінбейді, себебі 3·6+5·2+4·3+3=43

Екі натурал санның көбейтіндісі, айырмасы, қосындысы- әрқашан натурал сан. Бұл жағдайда сандар жиынының қосу, азайту амалдарына қатысты деп айтады. Бөлу амалына қатысты натурал сандар жиыны тұйық емес.

Сондықтан натурал сандарды бөлген кезде екі санның бөлінгіштігі

қарастырылады.


§3. Сандардың 11-ге бөлінгіштік белгісі


Егер санның құрамындағы тақ орындағы сандарының қосындысы

мен оның жұп орындарындағы сандарының қосындысының айырмасы

нөлге тең немесе 11-ге бөлінетін болса, онда бұл сан 11-ге қалдықсыз

бөлінеді.

Айталық, анықтық үшін берілген санды жұп таңбалы сан деп алайық.


Онда

аа...а=a10+a10+...+a10+a=a(10+10)+

+(a-a)10+…+a10+a=a11*10+(a-a)(10+10)+


+(a-a+a)11*10+…+a10+a= ... =

=a11*10+(a-a)11*10+(a-a+a)11*10+…+

+(a-a+…-a+a)11+(a-a+a-…+a-a)


Осыдан берілген сан 11-ге бөлінуі үшін

a-a+a…+a-a= (a+a+…+a) - (a+a+…+a)

айырмасы 11-ге бөлінуі керек немесе 0-ге тең болуы керек.





§4. Сандардың бөлінгіштік белгісіне есептер жинағы мен ұсыныстар


№1. Егер Х және А сандары кез келген натурал сандар болсын,

онда  саны 7-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз. (Бірдей әріптер бірдей сандарды, ал әртүрлі әріптер әртүрлі сандарды білдіреді)

Дәлелдеу:

Iтәсіл:  = 10Х+10А+10Х+10А+10Х+А=


= 10Х· (10+10+1)+А(10+10+1) = (10+10+1) : (10Х+А) =

= 10101 · (10Х+А)

10101:7 болғандықтан, онда  саны Х пен А санының кез

келген мәнінде 7-ге бөлінеді.

IIтәсіл:

 =ХА ·10101

10101 саны 7-ге қалдықсыз бөлінетін болғандықтан 10101:7=1443,

онда  саны 7-ге бөлінеді.


2. 3-ке, 7-ге, 13-ке қалдықсыз бөлінетін ең кіші алты орынды санды табыңыз.


Шешуі:

Ойланған сан 3 · 7 · 13=273 санына бөлінеді, ал ең кіші алты орынды

сан 100000=366 · 273+82. Егер осы санға 191-ді қоссақ, онда

100191=367 · 273-ті аламыз. Бұл сан 7-ге бөлінеді.

3. Кез келген бес орынды санға оң жағынан (сол жағынан) сол санның өзін тіркеп жазса, онда шыққан санның 11-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.


Дәлелдеу:

Айталық а бес орынды сан болсын. Оған дәл сондай санды тіркеп

жазғанда 100001 а санын аламыз. 100001 саны 11-ге бөлінетін

болғандықтан 100001:11=9091, онда 100001 а саны 11-ге бөлінеді.

4. Кез келген үш орынды санға сол санды кері тәртіппен жазған


санды тіркеп жазғаннан шыққан санның 11-ге бөлінетіндігін дәлелде

Дәлелдеу:

Iтәсіл:

Айталық аbс берілген сан болсын, есеп шартын пайдаланатын аbссbа санын аламыз

аbссbа = 10· а+10· b+10· с+10· с+10 · b+с =

=а (10+1)+10b(10+1)+10с(10+1)= =100001 · а +10b · 1001+10с · 11.

Әр қосылғыш 11-ге бөлінетін болғандықтан, онда қосынды 11-ге

бөлінеді. Сонымен аbссbа саны 11-ге бөлінеді.

аbссbа:11

IIтәсіл:
Егер берілген сан 100а+10b+с болса, онда

(100а+10b+с)· 1000+100с+10b+а=100001а+10010b+1100с.

100001 саны 11-ге бөлінеді.10010 саны 11-ге және 1100 саны 11-ге

бөлінеді, онда шыққан сан 11-ге бөлінеді.

5. Жүздіктері мен бірліктері бірдей үш орынды санның бірінші

және екінші цифрларының қосындысы 7-ге бөлінсе, онда берілген сан

7-ге бөлінетіндігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу:

100а+910b+а санын аламыз.

100а+10b+а =10 (а+b)+91а(а+b) шарт бoйынша 7-ге бөлінеді және 91 саны 7-ге бөлінеді.

91:7=13, онда 100а+10b+а саны 7-ге бөлінеді.

6. Сегіз натурал санның ішінде ең болмаса екеуінің айырмасы 7-ге

бөлінетін сандар бар болатындығын дәлелдеңіз.


Дәлелдеу:

7-ге бөлген кезде қалатын қалдықтар 0,1,2,3,4,5,6. Шарт бойынша 8

сан бар, онда 7-ге бөлгенде бірдей қалдық қалатын екі сан бар

болады. Сондықтан олардың айырмасы 7-ге бөлінеді.


7. Нұрдәулет арасында 1 саны жоқ алты әртүрлі санды өсу ретімен

жазып, көбейтіп, нәтижесінде 135135 санын алды. Нұрдәулеттің

ойлаған санын табыңыз.

Нұсқау: Алтыорынды санды ең бірінші біреуі екі орынды,екіншісі үш

орынды сандардың көбейтіндісі түрінде жазуға болады. Үш орынды

санның бөлінгіштік белгісін пайдаланып үш санның көбейтіндісі түрінде

жазуға болады. Екінші көбейткіш 1001 ( бұл сан Шахерезада саны деп

аталады) 7, 11 және 13 сандарына бөлінеді.

135135 = 135 · 1001 және 1001 = 7· 11· 13, ал 135 = 5 · 3· 9, онда

3· 5 · 7· 9 · 11· 13 = 135135.


8. Үш орынды санның соңғы екі цифрасы бірдей және олардың

қосындысы 7-ге бөлінсе, онда бұл санды жай көбейткіштерге

жіктегенде 7 саны бар болатындығын дәлелдеңіз.

Дәлелдеу.

Айталық, ¯abb¯ = 100a + 11b. Бұл қосындыны түрлендіру арқылы

келесі теңдікті аламыз:

100a + 11b = ( 98a + 7b) + ( 2a + 4b) = 7 (14a + b) + 2( a + 2b).

Шарт бойынша a + 2b = 7k (себебі 7-ге бөлінеді).

Нәтижесінде келесіні аламыз: ¯abb¯ = 7 · ( 14a + b + 2k)


Қорытынды.

Жұмысты орындау барысында натурал сандардың қарапайым

бөлінгіштік белгілерін қарастырудан бастадық. Натурал сандардың

7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілерін натурал сандарды жай көбейткіштерге

жіктеуге және ең кіші ортақ еселігін, ең үлкен ортақ бөлгішін табуға

қолдануды қарастырдық. Сандарды көбейткіштерге жіктеу үшін олардың

бөлінгіштік белгілерін біліп, дұрыс қолдану керек. Бұл жұмысты орындау


барысында жай сандарды қарастырдық.

Ғылыми жоба жұмыстарын орындау барысында математикалық

есептеу жұмыстары, модельдеу, талдау сияқты жалпы ғылыми әдістер

қолдандым. Бұл әдістердің сипаттамалары зерттеуде қолданылды.

Осы ғылыми жұмысты сандардың бөлінгіштік белгілерін бүтін сандар

үшін қолдануды жалғастыруды көздеп отырмын.


Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:


  1. Д.В. Клименченко «Задачи по математике для любознательных»

  2. Ә.Н.Шыныбеков «Алгебра» оқулығы

  3. Н.Н.Воробьёв «Делимость чисел»



«Натурал сандардың 7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілері» атты ғылыми жобаға

Пікір

Қарағанды қаласының №86 жалпы білім беретін орта мектептің 5 «Г» сынып оқушысы Күлейменова Дамираның «Натурал сандардың 7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілері» атты ғылыми жобасы математиканың қызықты саласының бірін қамтиды. Жобаны орындаушы зерттеу әдістемесін дұрыс таңдаған. Натурал сандардың бөлінгіштік белгісінің қарапайым түрлерін қарастырудан бастап, олардың жалпы мектеп бағдарламасында қарастырылмайтын натурал сандардың 7-ге, 11-ге бөлінгіштік белгілерін зерттеген. Ғылыми жобаны орындау барысында жалпы ғылыми әдістер қолданған. Ұсынылып отырған жоба жалпы мектеп бағдарламасындағы математика курсының өзекті тақырыптарының біріне жатады.

Ғылыми жоба аймақтық ғылыми-практикалық жобалар сайысына қатысуға лайық деп бағаланады.

Жоба жетекшісі: Г.Қ.Рыскелдиева