girniy.ru 1


Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия


Единственность решения одной задачи интегральной геометрии

в трехмерном пространстве

Т.Б.Дильман

Кызылординский государственный университет имени Коркыт ата

ул. Айтеке би, 29 а,

120014 Кызылорда, Казахстан

E-mail: dilmantb@mail.ru


Рассмотрим следующую задачу интегральной геометрии. В области 0 ≤ zH трехмерного простран-ства x, y, z задано семейство плоских кривых типа параболы с вершинами в точках (x, y, z) и опирающихся двумя концами на плоскость z = 0. Плоскости, содержащие кривые из , предпо-лагаются перпендикулярными плоскости z = 0. Пусть () – текущие координаты кривой из семей-ства L(x, y, z,):






В задаче интегральной геометрии [1] по заданной функции f (x, y, z,) из уравнения


f (x, y, z,) =

нужно определить функцию . Здесь означает дли-ну проекции кривой из заданного семейства на плоскости z = 0.

Аналогичная постановка задачи интегральной геометрии, когда кривые инвариантны к сдвигу по пе-ременным x и y, исследована в работе [2]. В данной работе рассматриваемые кривые инвариантны к сдвигу лишь по переменной z. Доказывается теорема единственности решения.

Т е о р е м а. Пусть функция трижды непрерывно дифференцируема по всем переменным и удовлетворяет условиям

= ,

, q<1.

Тогда решение рассматриваемой задачи интегральной геометрии единственно в достаточной малой области в классе финитных функций с носителем , принадлежащих по x, y, а по переменной z удовлетворяющей условию , если z ≥ 0; 0, если z < 0, постоян-ные M > 0, a > 0.


Д о к а з а т е л ь с т в о. Исходное уравнение преобразуем к виду



где

.

Далее, к функции применяем преобразование Лапласа по переменной z:




,

где

,




к=1,2.

Следовательно,

=

,

где Uпреобразование Лапласа от функции u по переменной z. В силу четности функции по переменной функция является нечетной, а R(x,y, - нечетной.

Интегрируя по переменной от =0 до =, получаем двойной интеграл по всей плоскости :


=

(1)

Сделаем следующую замену переменных:

, (2)

Отсюда найдем рассматривая x, y как параметры. Далее, вычислим якобиан

.

Нетрудно из системы (2) найти

. (3)

Л е м м а. При условиях теоремы, из системы (2) определяется в виде

(4)

Пользуясь формулами (3), (4) вычислим якобиан

,

где функция



дважды непрерывно дифференцируема по переменным x, y.

Таким образом, после замены переменных, вместо уравнения (1) имеем

=

= ,

где

.


В силу финитности функции по первым двум аргументам в ограниченной области :


= ,

где



достаточно гладкая функция. К обеим частям последнего уоравнения применяем оператор усреднения по кругу радиуса h с центром в точке

, (5)

где

+

+.

С помощью полярных координат с центром в точке изучим первое слагаемое функции :






-.

Поэтому уравнение (5) запишем в виде

, (6)

где - известная функция.

К уравнению (6) применяем оператор Лапласа по переменным :

. (7)

Исследуем ядро уравнения (7). Если ввести полярные координаты с центром в точке , то

,

следовательно, ядро уравнения (7) имеет вид

. (8)

Заметим, что

=

где

,

= . (9)


При функция является достаточно гладкой функцией, так как - схо-дящийся несобственный интеграл второго рода. Следовательно, задача оценки ядра уравнения (7) сводится к задаче исследования гладкости функции по переменным .

При достаточно малых можно всегда выбрать >0 так, чтобы было

, .

Внутренний интеграл в формуле (9) разбиваем на 2 интеграла: один по отрезку , другой по отрезку ] , тогда

= + .

В первом слагаемом введем новую переменную, тогда

= -


достаточно гладкая функция. Для оценки функции и ее производных порядка n2 запи-шем ее в виде

= ,

где для функции

=

справедливо неравенство [1, стр. 205]

, , C = const. (10)

При вычислении производных , от функции можно внести символ дифференцирования под знак внутреннего интеграла. В силу достаточной гладкости функции



и функция будет достаточно гладкой в .

Вычисление производной от внутреннего интеграла функции приводит к появ-лению ряда слагаемых за счет вычисления производных по верхнему и нижнему пределам и интеграла за счет дифференцирования подынтегральной функции. Первые из этих слагаемых ограничены, так как функ-ция на нижнем пределе ограничена и не зависит от , а на верхнем пределе совпадает с аналити-ческой функцией . Интеграл, возникающий при дифференцировании подынте-грального выражения в силу неравенства (10) оценивается интегралом


= .

Отсюда вытекает следующая оценка

,

которая справедлива в окрестности точки Вне этой окрестности функция непре-рывна и ограничена вместе с производными до порядка 2.

По известной лемме Адамара [3]

= + ,

где гладкость функции на единицу меньше гладкости самой функции . За-метим, что справедливо , отсюда

, (11)

Используя неравенства (10), (11) на основе формулы (8) оценим ядро интегрального уравнения второго ро-да (7) в окрестности :

, .


Таким образом, мы показали, что интегральное уравнение (7) является уравнением типа Фредгольма с осо-бенностью вида . Учитывая, что при и , а также подбирая получаем

.

Следовательно, интегральное уравнение (7) является уравнением со слабой особенностью в окрестности точки , а вне окрестности (7) имеет ограниченное ядро, то есть является интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Как известно, такое уравнение при фиксированных (а – показатель степени роста функции по переменной ) имеет единственное решение , придадлежа-щее пространству по переменным , если только диаметр области достаточно мал [4]. В силу условий теоремы, по образу Лапласа однозначно восстанавливается оригинал .



Литература


1.Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.:Наука, 1980.-286 с.

2.Алексеев А.А. Об одной задаче интегральной геометрии в трехмерном пространстве // Единствен-ность и устойчивость и методы решения некорректных задач математической физики и анализа. Новоси-бирск: ВЦ СО АН СССР, 1984, с. 3-15.

3.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:1984.-296 с.

4.Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.:Физматгиз, 1959.-232 с.