https://electroinfo.net

girniy.ru 1 2 3

На правах рукописи




УДК 539.3






Гладкий Сергей Леонидович




РАЗВИТИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ




05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ


Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук


Пермь 2007

Работа выполнена на кафедре динамики и прочности машин Пермского государственного технического университета и на кафедре прикладной информатики и искусственного интеллекта Пермского государственного педагогического университета.


Научный руководитель – доктор технических наук,

профессор Ясницкий Леонид Нахимович


Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук,

профессор Тарунин Евгений Леонидович;

- кандидат физико-математических наук

Большаков Александр Юрьевич.


Ведущая организация – Научно-исследовательский институт механики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского, г. Нижний Новгород.


Защита состоится 5 июля 2007 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.189.09 в Пермском государственном университете по адресу: 614600, г. Пермь, ул. Букирева, д. 15, зал заседаний Ученого Совета ПГУ.


С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета


Автореферат разослан ___ _____________ 2007 г.


Ученый секретарь

диссертационного совета Лутманов С. В.

Общая характеристика работы


Актуальность проблемы. В истории развития методов решения краевых задач математической физики можно проследить два периода. Первый исторический период начался с основополагающих работ Ж.Л. Д’Аламбера и Ж.Б.Ж. Фурье, выполненных в XVIII – начале XIX вв. С помощью метода разделения переменных им удалось получить ряд решений краевых задач для простейших областей, называемых каноническими – круга, квадрата, цилиндра, шара и пр.


Дальнейшее развитие метода Фурье было связано c попытками его применения к более сложным дифференциальным уравнениям за счет представления их решений через гармонические и бигармонические функции. Такие представления были предложены В.Кельвином и П.Г.Тайтом, М.Дж.Буссинеском, Б.Г.Галеркиным, П.Ф.Папковичем, Г.Нейбером, В.И.Блохом, Ю.А.Крутковым, К.В.Соляник-Красса, М.Г.Слободянским, В.М.Деевым и др.

Другое направление развития метода Фурье – применение к телам более сложных конфигураций за счет использования криволинейных систем координат. Здесь следует упомянуть основополагающие работы П.А.Шифа, П.Ф.Папковича, А.И.Лурье, В.К.Прокопова, В.Т.Гринченко, Ю.Н.Подильчука и др.

Следующая идея – это идея использования известных решений в простых областях для получения решений в областях более сложных конфигураций. Реализация этой идеи происходила в двух направлениях. Первое – это преобразование координат, что реализуется, например, конформными отображениями, развитыми и примененными в работах Г.В.Колосова, Н.И.Мусхелишвили, М.А.Лаврентьева и Б.В.Шабата, Г.Н.Савина, Д.И.Шермана, С.Г.Михлина, А.В.Угодчикова, Л.И.Волковыского, Е.А.Колчановой, В.Г.Баженова и др. Второе направление связано с расширением заданной расчетной области аналитическим продолжением решения за границу, возмущением формы границы, погружением заданной области в область более простой геометрической формы. Подобные идеи прослеживаются в работах Н.И.Безухова и О.В.Лужина, Б.Г.Коренева, А.Н.Гузя, Ю.Н.Немиша, И.Н.Шардакова, И.Н.Трояновского, И.Н.Труфанова, В.П.Матвеенко1, Л.Н.Ясницкого, В.А.Елтышева, А.Ю.Большакова2 и др.

По своей физической сути к этим методам близок метод источников, впервые встречающийся в работах С.П.Тимошенко, Р.Миндлина и Д.Чена, примененный Х.А.Рахматулиным, Х.Валиджановым, всесторонне исследованный А.А.Роговым3. Идея применения фундаментальных решений для нахождения решения краевых задач встречается в классических работах по теории потенциала Ф.Фредгольма, Д.Гильберта, Ж.Пуанкаре, Н.И.Мусхелишвили, Ф.Трикоми и др. Приближение источников к границам заданного тела приводит к сингулярности интегральных уравнений. Методы решения краевых задач, основанные на решении этих уравнений, развиваются в работах Н.Д. Купрадзе, М.А. Алексидзе, П.И. Перлина, В.З.Партона и др. Впоследствии за этой группой методов закрепился термин – методы граничных элементов (МГЭ), которые в настоящее время интенсивно развиваются и применяются саутгемптонской школой механиков, возглавляемой К.Бреббия.


Все приближенные аналитические методы решения краевых задач можно разделить на три группы: методы типа Треффца, Ритца и Рейсснера. Во всех этих методах искомое решение представляется в виде ограниченных сумм базисных функций, коэффициенты при которых ищутся из некоторого условия. В методах типа Треффца каждая из базисных функций подбирается так, что она тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению краевой задачи, а коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения граничным условиям. Для метода Ритца, наоборот, базисные функции должны тождественно удовлетворять краевым условиям, а коэффициенты ищутся из условия приближенного удовлетворения дифференциальному уравнению. В методе Рейснера на базисные функции не накладывается никаких ограничений и для отыскания коэффициентов формируется функционал Рейснера.

С точки зрения оценки точности получаемых результатов метод Треффца имеет преимущество. Дело в том, что он приводит к аналитическим решениям, которые тождественно удовлетворяют дифференциальному уравнению краевой задачи во всей расчетной области. Остается только вычислить невязки удовлетворения граничных условий на границе расчетной области и с помощью них оценить погрешность решения краевой задачи.

Второй этап развития методов решения краевых задач связан с появлением в начале 50-х гг. XX века электронно-вычислительных машин и распространением численных методов. Среди них наибольшую популярность приобрели метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ).

Как видно из приведенного выше обзора, к настоящему времени разработан значительный математический аппарат, предназначенный для решения краевых задач. Однако не существует одного универсального метода, который обладал бы преимуществами во всех ситуациях. Каждый метод имеет свою область применения, в которой он является более эффективным. Поэтому разработка новых методов и усовершенствование существующих всегда были и остаются актуальными задачами.

В настоящее время одним из наиболее важных критериев эффективности методов решения краевых задач, определяющих их практическую ценность, является возможность точной оценки погрешности получаемых решений. В работе рассматривается один из приближенных аналитических методов решения краевых задач – метод фиктивных канонических областей (ФКО). Метод ФКО является, по сути, развитием метода Треффца. Дело в том, что метод Треффца предложенный в 1926 г., несмотря на отмеченное уникальное свойство возможности простой и надежной оценки погрешности, долгое время оставался не пригодным для широкого практического применения. Нерешенной была проблема подбора базисных функций, обеспечивающих сходимость решений. В 1973 г. Л.Н.Ясницким4 была предложена геометрическая интерпретация метода Треффца, которая позволила разобраться в проблемах его сходимости и корректности, построить методику выбора базисных функций, впоследствии названную методом ФКО5. В том же году им была дана первая формулировка теоремы сходимости (она же – теорема продолжимости) и ее первое доказательство в случае плоских краевых задач для уравнений Лапласа и Ламе, а также предложен способ оценки погрешности на основе принципа максимума. Впоследствии компьютерные программы, реализующие метод ФКО, были переданы сотруднику Института механики сплошных сред УрО РАН В.А.Елтышеву, который вместе со своими учениками развил и применил их для расчета напряженно-деформированного состояния тел цилиндрической формы, скрепленных с оболочками6. В 1985 г. А.Ю.Большаковым и В.А.Елтышевым7 была сформулирована и доказана теорема о сходимости решений, получаемых методом ФКО, в случае, если фиктивная и заданная области топологически эквивалентны. Однако основным критерием выбора фиктивных канонических областей оставалась теорема продолжимости, доказательство которой для общего объемного случая было выполнено в 1988 г. С.Я.Гусманом8. Доказательство было выполнено применительно к уравнению Лапласа и распространено на уравнения, решение которых выражается через гармонические функции.


Таким образом, на сегодняшний день метод ФКО имеет практические приложения, его развитию и применению посвящены две докторские (Л.Н.Ясницкий, В.А.Елтышев) и несколько кандидатских (В.А.Елтышев, А.Ю.Большаков, А.А.Осипанов, А.В.Колмогоров) диссертаций. Однако, несмотря на свои преимущества, теоретические и практические результаты, метод ФКО до сих пор не является широко распространенным. Причиной этого, по мнению автора диссертации, является недостаточная теоретическая развитость метода ФКО и отсутствие его хорошей программной реализации. Поэтому тема диссертационной работы, связанная с решением этих вопросов, является актуальной.


Целью работы является развитие метода ФКО, создание реализующей его компьютерной программы и ее применение для решения практических задач, а именно:


  • разработка новых алгоритмов, позволяющих повысить точность решений, получаемых методом ФКО;

  • расширение возможностей и применение метода ФКО для решения новых классов краевых задач – задач термоупругости и нестационарных задач теплопроводности;

  • создание библиотеки ФКО для плоских и осесимметричных задач теплопроводности, теории упругости и термоупругости;

  • разработка программы, реализующей метод ФКО с использованием современных технологий в области программирования, в том числе, элементов искусственного интеллекта;

  • решение практических задач методом ФКО.


Научная новизна работы заключается в следующем. Выполнено развитие метода ФКО в двух направлениях:

1. Метод ФКО распространен на новые классы краевых задач:

a) задачи термоупругости;

б) нестационарные задачи теплопроводности, в том числе с подвижными границами;

в) контактные задачи теории упругости.

2. Метод ФКО дополнен алгоритмами, позволяющими автоматизировать его применение и увеличить точность получаемых решений.

Все предлагаемые в работе алгоритмы реализованы в компьютерной программе REGIONS и продемонстрированы при решении конкретных краевых задач.


Достоверность полученных результатов подтверждается использованием современных методов математического моделирования, систем аналитических вычислений, сравнением результатов, полученных методом ФКО, с результатами, полученными другими методами.


Научная и практическая ценность работы. В рамках работы метод ФКО распространен на решение новых классов краевых задач – задач термоупругости и нестационарных задач теплопроводности, в том числе с изменяющимися границами. Предложен и реализован алгоритм решения контактных задач теории упругости методом ФКО.

Разработаны новые алгоритмы, которые позволяют существенно повысить точность решений, получаемых методом ФКО, и расширяют его возможности.

Разработанная автором программа REGIONS может применяться для решения методом ФКО практических задач: линейных плоских и осесимметричных стационарных задач теплопроводности, статических задач теории упругости и термоупругости, а также плоских нестационарных задач теплопроводности.

С помощью программы REGIONS решен ряд практически важных инженерных задач, что подтверждено прилагаемыми актами внедрений.

Программа REGIONS используется при обучении студентов в вузах г. Перми и для решения практических задач.


Апробация работы. Отдельные разделы диссертации докладывались автором на:


  1. X Всероссийской конференции молодых ученых “Математическое моделирование в естественных науках”. Пермь, 2001.

  2. VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001.

  3. Всероссийской научно-технической конференции “Аэрокосмическая техника и высокие технологии”. Пермь, 2002.
  4. XL международной научной студенческой конференции. “Студент и научно-технический прогресс”. Математика. Новосибирск, 2002.


  5. XXIV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 2002.

  6. XII Всероссийской конференции молодых ученых “Математическое моделирование в естественных науках”. Пермь. 2003.

  7. III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием. Ростов-на-Дону, Азов, 2003.

  8. 13-ой зимней школе по механике сплошных сред. Пермь, 2003.

  9. IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, 2006.

  10. Международной научно-методической конференции “Актуальные проблемы математики, механики, информатики”. Пермь, 2006.


Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ (6 статей и две монографии).

Программа REGIONS зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ РФ (свидетельство № 2006611607).


Личный вклад автора. Автор предложил способ распространения метода ФКО на задачи термоупругости. Метод ФКО впервые применен автором для решения нестационарных задач теплопроводности. Диссертантом предложен и реализован итерационный алгоритм решения контактных задач теории упругости, адаптированный для метода ФКО. Приведенные в работе три алгоритма оптимизации решений и метод игнорирования -окрестности также разработаны автором (два алгоритма – совместно с научным руководителем). Программа REGIONS полностью разработана автором. Все решения краевых задач, приведенные в работе, также получены лично автором с помощью данной программы.


Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и четырнадцати приложений, содержит 65 рисунков, 5 таблиц, список цитируемой литературы из 165 наименований.



следующая страница >>