1.	Фамилия	Бекенова
2.	Имя	Меруерт
3.	Отчество	Муратовна
4.	Класс	7б
5.	Школа	№2
6.	Населённый пункт	г.Жезказган, с.Кенгир
7.	Научный руководитель (Ф.И.О.)	Бекмаганбетова Бибжамал Искаковна
8.	Секция	Математика
9.	Тема доклада	Пифагор және оның жолын қуушылар
10.	Язык	каз
11.	Требуется ли техническое оборудование	Компьютер

Пифагор және оның жолын қуушылар


Бекенова Меруерт, 7 сынып №2 Кеңгір орта мектебі, Жезқазған қаласы

Жетекшісі: Бекмаганбетова Б.И.


ПИФАГОР ЖӘНЕ ОНЫҢ ЖОЛЫН ҚУУШЫЛАР

1. Біздің жыл санауымыздан бұрынғы VI ғасырдың аяғында Персия мен Грецияның арасында болған соғыстардың зардабынан көптеген иониялықтар, олардың ішінде ғалымдар да бар, Грецияның отары – Оңтүстік Италияға ауысады, осының нәтижесінде ертедегі грек мәдениеті де осылай қарай көшеді.

Евклидтің «Негіздер» атты еңбегіне жазған түсінігінде Прокл былай дейді: «Фалес Мысырға жолаушылап барып, Элладаға геометрияны ала келді; қағидалардың көпшілігін ол өзі ашты және өзінен кейінгі қалғандарға өнеге, негіз көрсетті. Кейде ол – мәселені жалпы жағынан қарастырса, кейде көрнекілікке сүйенді. Оның жолын қуып, стесихъор ақынның інісі Мамерк геометриямен шұғылданды; Гипий Элидскийдің айтуы бойынша, ол жұртшылыққа ірі геометр ретінде белгілі болды.

Олардың артынан іле-шала Пифагор геометрияны абстарктылы дедукциялық ғылымға айналдырды. Ол оның негізгі принципін таза абстарктылы түрде қарады да, ал теоремаларын практикалыфқ тұрғыдан емес, логикалық ақыл-ой тұрғысынан зерттеді. Шынында иррационал сандар теориясын ол ашты және космостық фигуралардың (дұрыс көпжақтардың) түзілісін ол тапты».

Сөйтіп, біздің жыл санауымыздан бұрынғы VI ғасырда геометрия нағыз ғылыми пән болып қалыптасқаны байқалды. Енді геометрия жер участогын өлшеу практикасынан аулақ абстракт мәселелерді, атап айтқанда дерексіз фигуралардың қасиеттерін зерттейтін ғылыми пәнге айналды. Геометриядағы теоремалардың шындығы енді эмпириялық жолмен емес, логикалық дәлелдеу жолымен тексерілетін болды. Әрине, геометрияны осылай құру оның ілгері дамуына кең жол ашты.

Пифагор және оның жолын қуушылар (пифагоршылар) бүкіл планиметрияны құрды деуге болады. Олардың ғылыми табыстарының ішінде көзге түсерлік жетістік: атақты «Пифагор теоремасы»: «Тік бұрышты үшбұрыштың катеттеріне салынған квадраттар аудандарының қосындысы оның гипотенузасына салынған квадраттың ауданына тең». Пифагордың бұл теоремасы ертедегі грек ғылымы тағдырына шешуші ықпал жасады. Осы теорема негізінде математикаға иррационал сан ұғымы енді. Шынында, қабырғасының ұзындығы 1-ге тең квадраттың диагоналын жүргізсек, квадрат тең бүйірлі тік тік бұрышты бірдей екі бұрышқа бөлінеді (1-сурет). Осы тік бұрышты үшбұрыштардың біреуінің катеттеріне салынған квадраттың аудандарының қосындысы, оның гипотенузасына салынған квадраттың ауданына тең болғанымен, гипотенузасын, яғни диагональдың, ұзындығы рационал сандардың (бүтіні, бөлшегі болсын) бірде-біреуімен өрнектелмейді. Олай болса, квадраттың диагоналы оның қабырғасымен өлшемдес болмайды.

1



1


1-сурет

Сонымен, өлшемдес емес кесінділерді, яғни олардың ұзындықтарының қатынасын, не бүтін, не бөлшек сандармен өрнектелмейтін кесінділердің болатындығын тапқан Пифагор.

Бұл теорема Пифагордан 1200 жыл бұрын вавилондықтарға белгілі болған деп біз жоғарыда ескерттік. Бірақ вавилондықтар бұл теореманың логикалық дәлелдеу жолын көрсеткен жоқ. Мүмкін Пифагор Вавилонға жаһан кезіп барғанында осы теоремамен әбден танысып, оның логикалық жолмен дәлелдеуін берген шығар.

Евклидтің «Негіздер» атты еңбегіне жазған түсінігінде: «Пифагор осы теоремасының құрметіне өгізді құрбан шалыпты деген аңыз бар», - дейді.

Пифагоршылар планиметриялық мәселелермен ғана емес, стереометриямен де шұғылданды. Мәселен, олар мына: куб, тетраэдр, додекаэдр және октаэдр деп аталатын дұрыс және көпжақты денелермен шұғылданды. Бұл денелерді олар космос фигуралары деп атады.

Додекаэдрдың жақтары дұрыс көп бұрышты фигуралар болып табылады да, ол оның диагональдары бес бұрышты жұлдыз тәрізді болады (2 сурет).




К В




А Ғ


С


2-сурет

Міне, осы фигураны пифагоршылар денсаулықтың символы деп қараған және бұл фигура өз адамы екенін білдіретін шартты белгі ретінде қолданылған. Мәселен, осы фигура жөнінде мынандай аңыз бар: пифагоршылардың біреуі бөтен жат жерде жүріп қатты ауырып қалыпты; күткен адамына төлейтін пұлы болмай, хал үстінде жатып, осы үйдің сыртына бес бұрышты жұлдыз тәрізді фигураның суретін салып қойшы, күндердің күнінде бұл үйдің маңынан пифагоршылардың бірі өте қалса, тоқтамай кетпейді депті. Шынында да, бірнеше жыл өткеннен кейін айтқанындай осы үйдің жанынан пифагоршылардың бірі өтіп бара жатып, жаңағы бес бұрышты фигураны көреді де, үйге кіріп, оның иесіне үлкен сыйлық беріпті.

Бес бұрышты жұлдыз тәрізді фигураны салу үшін пифагоршылар пропорцияны пайдаланған. 1-суретте көрсетілген фигураның бір сызығының, мәселен, АВ-нің ұзындығы а, онан кейін КВ-нің ұзындығы х болса, онда АК-ның ұзындығы а–х болады да, ал АК мен КВ-нің қатынасы қандай болса, КВ мен АВ-нің қатынасы сондай. Мұндай қорытынды АВС мен КВҒ үшбұрыштарының ұқсастығынан шығады.сонымен,

ВҒ : ВК = ВС : ВА

немесе (а - х) : = х : а.

Бұл пропорциядан төмендегі

х² = а (а – х)

квадрат теңдеуі шығады.

Сөйтіп, бес бұрышты жұлдыз тәрізді фигураны салу мәселесі жоғарыдағы квадрат теңдеуді шешуге келіп тірелетін болды.

Бұл квадрат теңдеуді пифагоршылар, әрине, шеше білді. Оны шешкенде геометриялық тәсілді қолданған болу керек. Берілген көпбұрышпен тең шамалы және оған ұқсас көпбұрышты салу жолы да оларға белгілі болған.

Ұлы Грецияда сол тұста математика саласынан ашылған жаңалықтардың барлығын не Пифагордың өзіне, не оның жолын ұстаушыларға таңады. Шынында солай ма әлде басқаша ма – бұл жөнінде тарих білетін мәлімет шамалы.

Бір белгісізді екінші дәрежелі теңдеуді (квадрат теңдеу) шешу мәселесі пифагоршыларды өлшемдес емес кесінділердің ашылуына әкеп тіреді. Өлшемдес емес кесінділердің болуы геометрияны реальды жағдайдан алыстатып абстрактылы түрде қарауға мүмкіндік берді. Бірақ Пифагордың тұсында геометрияның абстракты түрде болды деуге болмайды.

2. Пифагоршылар арифметика саласына да бірсыпыра үлес қосты. Жұп, тақ сандар ұғымын пайдаланып, екіге қалдықсыз бөліну теориясын құрды. Мәселен, екі көбейткіштің бірі екіге қалдықсыз бөлінетін болса, онда сол екі санның көбейтіндісі де екіге қалдықсыз бөлінеді дейді. Бұл қорытындының маңызы иррационал сандар теориясында өте зор.

Сандар теориясы саласында пифагоршылардың қарастырғаны кәміл сандарды, яғни өздерінің бөлгіштерінің қосындысына тең сандарды табу болады. Мәселен, мына сандар: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14, 496; 8128 – кәміл сандар.

Егер мына қосынды:

р = 1 + 2 + 2² + ... + 2^п = 2^п+1 – 1

жай сан (тек бірге және өзіне ғана қалдықсыз бөлінетін сан) болса, онда мына сан 2^пр кәміл сан болатындығы тағайындалған. 220 мен 284 сандарын қарастырсақ, бұлардың бірі екіншісінің бөлгіштерінің қосындысына тең болатынын көреміз. Мұндай сандарды пифагоршылар дос сандар деп атаған.

Пифагор мына төмендегі

х² + у² =z² (1)

анықталмаған теңдеудің бүтін сандармен өрнектелетін шешулерін табу ережесін көрсетті. Егер Пифагордың планиметриядағы атақты теоремасын еске алсақ, онда (1) теңдеуді шешу қабырғалары бүтін сандармен өрнектелетін тік бұрышты үшбұрыштарды табуға келіп тіреледі. Пифагор бұл теңдеудің шешуін мына түрде тапты:

х = (т² – 1), у = т, z = (т² + 1),

мұнда т – тақ сан.

Бұл шешулер, шынында (1) теңдеуді қанағаттандырады, бірақ оның түгел шешуі шықпайды.

Пифагоршылар түрлі пропорциялармен бірге, арифметикалық орта с=, геометриялық орта с=, гармониялық орта с=ұғымдарын енгізді.

а және b екі санның арифметикалық ортасы әрбір мүшесі қатар екі мүшесінің жарым қосындысы болып табылатын арифметикалық прогрессиялардың қарастырумен байланысты. Арифметикалық прогрессия мүшелерінің қосындысын табатын формуланы пифагоршылар жақсы білген. Олар барлық сандарды үш юұрышты, квадрат, тік бұрышты, бес бұрышты т.т. сандар деп бөлген. Мәселен,

1 + 2 + 3 + ... + п = – үш бұрышты сан,

1 + 3 + 5 + ... + (2п – 1) = п² – квадрат сан,

2 + 4 + 6 + ... 2п =п (п + 1) – тік бұрышты сан,

1 + 4 + 7 + ... + (3п – 2) = - бес бұрышты сан.

Осы келтірілген арифметикалық прогрессиялардың қосындыларын олар нүктелерден құрылған фигуралармен кескіндеді.

Геометриялық орта, сөз жоқ, геометрия мәселелерімен байланысты болды. Пифагоршылар басында барлық геометриялық шамалар өз ара өлшемдес болады деп түсініп, геометрияның бүкіл теориясын бүтін сандар қатынастары негізінде құрмақшы болған болу керек.

Геометриялық прогрессияның әрбір мүшесі өзінің алдындағы мүше мен кейінгі келесі мүшенің көбейтіндісінің квадрат түбіріне тең екені белгілі. Ендеше, геометриялық орта геометриялық прогрессиялармен де тығыз байланысты.

3. Гармониялық орта ұғымын Пифагор музыка теориясымен байланыстырған. Музыкалық аспаптар шығаратын дыбыстардың сапалық айырмасы ішектердің ұзындығына байланысты екендігін байқаған. Егер ішектің не флейтаның ұзындығын екі есе қысқартып тастаса, олардың шығаратын дыбысы бір октава жоғарылайды. Егер үш ішектің ұзындығын кескіндейтін сандардың қатынастары 6, 4, 3 үш санның қатынастарындай болса, онда бұл үш ішектің гармониялық аккорд береді деген қорытындыны Питфагор жасады. Шынында, бұл үлкен жетістік, өйткені сандар физикалық құбылыстың қасиеттерін сипаттайтын болды, сандардың өзгеруі гармонияны не қалпына келтіреді, не бұзады.

Пифагоршылар көзқарасы бойынша гармониялық аккордты беруші ішектердің ұзындықтары қандай гармониялық қатынаста болса, Күнді, Айды және жылжымай тұрған жұлдыздарды ұстап тұрған аспап сфераларының радиустары мен дүние гармониясын («орталық отты») шыр айналушы сфералардың радиустары сондай қатынаста болады. Олардың философиясы бойынша «орталық отты» айналушы сфералар «сфералар музыкасы» немесе «дүние гармониясы», «аспап – сан және гармония» делінді. Оларша: «сан – дүниенің заңы және оның байланысы, барлығын анықтайтын және танып білетін құрал, заттар дегеніміз сандарға еліктеу, заттардың мәнісі және олардың жаратылысы – сан: әр түрлілікке бірлікті енгізуші және гармонияны туғызушы – сан.

Санның жаратылысы – ешкімге белгісіз әрбір күдікті заттағы заң, жекетші. Заттардың өздерінің-өздеріне немесе басқаларға қатынастары сансыз және оның мәнісінсіз ешкімге де айқын болмаған болар еді. Санның жаратылысы және оның құдіреттілігі тек тәңірі ісінде ғана кездесіп қоймайды, оны адамзаттың бүкіл әрекеттерінде, қолөнерлерінде, істеген кәсіптерінде, бүкіл өнер мен музыкада кездестіруге болады.».

Сонымен, пифагоршылар филасофиялық көзқарасынша дүниенің және дүние танудың негізі сан болып табылады.

Барлық заттардың принципін Пифагор санда деп білді, оның нақыл сөзі «әлемде үстемдік ететін сан» дейді.

Пифагорлық философия – реакциялық философия. Пифагоршылар реакциялық құлдық аристократияның қол шоқпары.

Пифагоршылар философиясында үстемдік алған реакциялық ілім – «тәртіп» болоды. Бұл ілім бойынша қоғам өмірінде «тәртіпті» орнататын аристократия, ал бұзатын демократия.

Иониялық ойшылдардың материализмін пифагоршылар жоққа шығарып, табиғат құбылыстарының негізі сан деп тапты. Олардың пікірінше, сандар космостық «тәртіп» құрады және бұл «тәртіп» қоғамдық «тәртіптің» бейнесі болып табылады.

Пифагоршылар сандарды жұп және тақ деп бөліп, олардың негізіне бірлікті алды.

Олар бүкіл табиғат құбылыстарының бастапқы негізі материя емес, сан деп білді, бұл идеалистік көзқарас.

Пифагор ілімінің екі жағы бар: 1) ғылыми жағы, 2) діни мистикалық жағы деген Пифагор.

Пифагоршылар математика ғылымынан ашқан жаңалықтарын ешқайда таратпасқа, өздерінен басқа ешкімге білдірмеске серт беріпті деген аңыз бар. Пифагор қайтыс болғанна кейін, «Шардағы онекіжақ туралы теореманы» пифагоршылардың бірі Гиппас (б.э. дейінгі VI-V ғасырлар) сертті бұзып жұртқа жариялап қойыпты. Сол үшін Гиппасты мектептен аластаған.