https://electroinfo.net

girniy.ru 1 2 ... 17 18

Философские проблемы математики


Сычева Л.С.

Введение 2

Глава 1. Представления о предмете и задачах математики. Обзор точек зрения. 6

1.1. Математика или математики? 6

1.2. Логический формализм и аксиоматический метод 7

1.3. Абстракции в математике 11

1.4. Проблема существования абстрактных объектов математики 13

1.5. Платонистская интерпретация математических объектов 14

1.6. Неономинализм. Неоконцептуализм 17


Глава 2. Философия науки – наука или философия? 26

2.1. Точки произвольного выбора – неотъемлемая особенность философии 28

2.2. Философия науки на пути превращения в науку 32

2.3. Эстафетная модель науки М.А. Розова 35


Глава 3. Философия математики как становящаяся научная дисциплина 43

3.1. Способ бытия математических объектов. Математические объекты как куматоиды 44

3.2. Программа «конструктор» как способ задания объектов математики 55

3.3. Новации, традиции, революции в математике 61

3.4. Проявления рефлексии в математическом познании или – утратила ли математика определенность? 92

3.5. «Физическая математика» Архимеда, формирование интегрального исчисления и механизмы новаций в математике 97


Библиографический список 107

Список тем для докладов и рефератов по истории и философии математике 110

Хрестоматия по философии математики 112


Розов М.А. К методологии анализа проблемы идеального 112

Розов М.А. Способ бытия математических объектов 119

Новиков С.П. Математика на пороге XXI века 126

Коллинз Р., Рестиво С. Пираты и политики в математике 155

Сокулер З.А. Вопрос о революциях в истории математики 191

Введение

Философские проблемы математики обсуждаются уже в Древней Греции, когда Платон «помещает» числа, треугольники и т.п. математические объекты, как и идеи вообще, в особый мир. Элементы этого мира – вечны и неизменны, с одной стороны, а с другой – именно идеи обусловливают само существование вещей. Обсуждению подвергаются вопросы о том, где и как существуют числа, какова их природа, чем обусловлен всеобщий характер математического знания, когда в самых разных культурах, возникающих в значительной степени независимо одна от другой, люди складывают и умножают числа одинаково (техника счета различается, а результаты – одинаковы)? Трудности, которые обнаружили уже древние греки, хорошо моделирует «Диалог о сущности математики» венгерского математика Альфреда Реньи:


С о к р а т. … считаешь ли ты, что звезды на небе будут появляться, если никто их не станет наблюдать, а рыбы будут продолжать плавать, если никто не станет ловить их?

Г и п п о к р а т. Конечно. Как могли бы мы говорить о них, если бы их не было?

С о к р а т. Тогда скажи, если бы не было математики, были бы простые числа, и если да, то где?

Г и п п о к р а т. Не знаю, что и ответить. Ясно, что если математики думают о простых числах, значит они существуют в их сознании, но если бы не было математиков, не могло бы быть и простых чисел.

С о к р а т. Значит, ты считаешь, что математики изучают несуществующие понятия?

Г п п о к р а т. Пожалуй, мы должны допустить это.

С о к р а т. Если я скажу, что математики занимаются тем, что или вовсе не существует или существует, но не так, как существуют звезды или рыбы, то буду ли я прав?

Г п п о к р а т. Вполне.

С о к р а т. Теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Я написал на восковой табличке число 37. Ты видишь его?

Г и п п о к р а т. Да.

С о к р а т. И можешь дотронуться до него рукой?

Г и п п о к р а т. Конечно.

С о к р а т. Значит, числа существуют?

Г и п п о к р а т. Ты смеешься надо мной, Сократ. Послушай! Я нарисовал на такой же табличке дракона с семью головами. Разве это означает, что он существует? …

С о к р а т. Ты прав, Гиппократ, я с тобой согласен. Значит, хотя мы говорим о числах и даже можем написать их, на самом деле они не существуют? (Реньи, 1969. С. 25-26).

К числу философских проблем математики относится широкий круг проблем, достаточно разнородных. Обсуждается, как мы видели, прежде всего, вопрос о сущности и статусе математических объектов, где и как они существуют. «Отражают» ли эти объекты какие-то реалии внешнего мира, или эти объекты - чистые творения разума? Кронекер писал, что «целые числа создал господь Бог, а все остальное – творение человека». Существенно, что начиная с 19 века, споры о природе чисел и множеств не ограничиваются областью философии, а философские установки отдельных школ и направлений обоснования математики оказывают существенное влияние на решение специальных логико-математических вопросов.


Тесно связан с вопросом о статусе математических объектов и вопрос о математике как науке. Н. Бурбаки спрашивает – существует ли одна математика, или – много? Имеет место очень большой разброс мнений о том, что такое математика – от слов Канта о том, что только та область является наукой, которая использует математику, до слов Фейнмана о том, что математика – не наука: «Математика, с нашей точки зрения, не наука в том смысле, что она не относится к естественным наукам. Ведь мерило ее справедливости отнюдь не опыт. Кстати, не все то, что не наука, уж обязательно плохо. Любовь, например, тоже не наука. Словом, когда какую-то вещь называют не наукой, это не значит, что с нею что-то неладно: просто не наука она, и всё» (Фейнман 1965. С.55). Сюда же примыкают такие метафоры для описания математики и ее места среди других наук, как вопрос В.А. Успенского – математика и физика – сестры или – мать и дочь? Широко известны слова Гиббса о том, что математика – это не наука, а язык, с этими словами солидаризируются одни математики и активно не согласны другие. О причинах разногласий пишет, например, Р.Курант: «На вопрос, что такое математика?» невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы» (Курант 1967. С. 16).

Чем обусловлен всепроникающий характер математического знания? Возникнув из простого счета и чертежей, математика распространилась в самые разные сферы природы и социальной жизни людей, без нее не могут обойтись не только механика и другие разделы физики, но и астрономия, экономика, электронно-счетные машины и многие другие области науки и жизни.


Спорными являются буквально все вопросы, касающиеся того, что такое математика, как она возникает и развивается. Так, с появлением книги Т.Куна «Структура научных революций» разгорелся спор о том, имеют ли место научные революции в математике. Многие авторы пришли к выводу, как М. Кроу, автор статьи о законах в математике, что «революции никогда не встречаются в математике» (закон 10). Идут споры о том, что такое чистая и прикладная математика, каковы между ними отношения, чему надо уделять больше внимания как в ходе научных исследований, так и в процессе преподавании.

Появление многотомного курса Н. Бурбаки одними оценивается как значительное явление в математике, другие же видят существенные негативные последствия «бурбакизма» математики (Новиков 2002).

Не внесло единства в обсуждение философских проблем математики и развитие исследований по ее основаниям, где в начале 20 века сложились школы логицизма, интуиционизма, формализма. Теперь многие соглашаются с Х. Патнэмом, опубликовавшем статью «Почему ничего из этого не работает» (имея в виду традиционно главные направления в философии математики) (См.: Целищев, 2007. С. 29). Однако, рассматривая философские проблемы математики, нельзя обойти вопросы формирования этих школ, а также причины, в силу которых в каждой из школ обнаружились узкие места, настолько, что У. Харт стал говорить об эпистемологическом повороте в философии математики: «Платонизм кажется ясным, когда вы думаете о математической истине, но невозможным, когда вы думаете о математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она просто изменилась. Причинность, холизм и натурализация вытеснили чувственные данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом является не только прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики» (Цит. По Целищев 2007. С. 46-47).

Относятся к философии математики и вопросы о том, под влиянием каких факторов развивается математика. Даже если признать, что в математике нет научных революций, никто не сомневается, что в этой науке все время появляются новые разделы, возникают новые понятия и теории. Что этому способствует? Внешние факторы – потребности других наук, потребности практики, или – только внутренние факторы? Иначе говоря, спорят, какой идеологии следовать – идеологии интернализма (математика развивается благодаря внутренним причинам), или – идеологии экстернализма – на развитие математики существенное влияние оказывают внешние факторы – развитие материального производства, которое «направляет» свои запросы математике, социальная структура общества, традиции и т.п. Последнее важно, в частности, при ответе на вопрос – почему доказательство и вообще «чистая» математика сложилась только в Греции (в древности), а затем – в Европе, и уже оттуда распространялась в другие географические (и культурные) регионы?


Является ли математика наукой о природе? Если нет, то могут спросить – зачем же она тогда существует? Благодаря тесной взаимосвязи математики, природы и общества, формируются программно-предметные комплексы (Розов 2006-1). Математика – наука о природе и обществе, если единицей исследования считать не отдельную математическую науку (теория вероятностей, теория графов и т.п.), а программно-предметные комплексы.

Для данной работы важно, что многие вопросы из названных выше можно решить, если обратиться к одной из современных концепций научного знания – теории социальных эстафет М.А. Розова (Розов 2006-1). Эта теория возникла в рамках решения важнейшей задачи эпистемологии – что такое знание. Отсутствие ответа именно на этот вопрос тормозит анализ математики как науки, ибо ее объекты действительно, заключают в себе тайну – в рамках традиционных представлений невозможно ответить на вопрос – что такое число, в чем причина всеобщности и необходимости математического знания и т.д.

Задачи работы вытекают из сказанного выше. Книга имеет три раздела. 1. Как понимают предмет и задачи математики в традиции. 2. Средства исследования – теория социальных эстафет, основные положения – эстафетная модель науки, идея куматоида как волноподобной структуры. Будет показано, что философия математики находится на пути превращения в эмпирическую науку. 3. Анализ выделенных в 1 части проблем в рамках теории социальных эстафет. Построение философии математики как эмпирической науки основывается на том, что: а) числа и другие математические объекты – это куматоиды, т.е. относительно постоянные программы и постоянно изменяющийся материал; б) математические объекты не находятся в природе, а конструируются человеком; в) ответ на вопрос о существовании научных революций в математике зависит от определения научной революции. При понимании научной революции как существенного изменения в развитии конкретной науки, революции есть и в математике – прежде всего – появление нового конструктора. г) Математические дисциплины, при всей их разнородности, тесно связаны друг с другом, а также с физическими науками, астрономией, биологией, географией, экономикой и многими другими. Связи фиксируются идеей программно-предметных комплексов, суть которых состоит в том, что научные дисциплины нерационально изучать как изолированные «образования», ибо, как правило, предметные науки ставят задачи, а математические – дифференциальное и интегральное исчисление, теория дифференциальных уравнений, математическая статистика, теория вероятностей, линейное программирование и т.д. – разрабатывают средства. Можно даже вообще сформулировать тезис – говоря о развитии науки, следует изучать не изолированные дисциплины, а их комплексы. В этом случае и не будет вопросов – какую реальность изучает математика. Она разрабатывает средства для предметных наук. Вероятно, все математические дисциплины входят в какие-либо комплексы. д) в математике, как совершенно справедливо считает В.А.Успенский, далеко не все определяется и доказывается, или выводится из аксиом. В математике, как и в других науках, действуют по образцам, прибегают в аналогиям, используют не строго введенные, но работающие понятия (такие, как бесконечно малые в анализе).



Глава 1.
Представления о предмете и задачах математики. Обзор точек зрения



1.1. Математика или математики?


Рассмотрим подробнее, какие проблемы обсуждаются в рамках философии математики. В статье «Архитектура математики» Н. Бурбаки пишет, что дать в настоящее время общее представление о математической науке – значит заняться делом, которое наталкивается на почти непреодолимые трудности. Материал исследований по математике – обширен и разнообразен. Статьи по чистой математике, публикуемые во всем мире в среднем в течение одного года, охватывают многие тысячи страниц. Не все они имеют одинаковую ценность. Тем не менее, после очистки оказывается, что каждый год математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются, сопоставляются и комбинируются друг с другом. Ни один математик не в состоянии проследить это развитие во всех подробностях. Однако можно спросить себя, продолжает Бурбаки, «является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики; не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существуют в настоящее время одна математика или несколько математик?» (Бурбаки 1963. С. 246).


1.2. Логический формализм и аксиоматический метод

Вот ответ Бурбаки: «…внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости … упрочила единство ее различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было. Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, существующих между различными математическими теориями; ее итогом явилось направление, которое обычно называют «аксиоматическим методом» (Бурбаки, 1963. С. 247).


То, что аксиоматика ставит перед собой в качестве основной цели – уразумение существа математики, именно этого не может дать логический формализм, взятый сам по себе. Там, где поверхностный наблюдатель видит лишь две или несколько теорий, совершенно отличных друг от друга по своему внешнему виду, и где вмешательство гениального математика приводит к обнаружению совершенно «неожиданной помощи», которую одна из них может оказать другой, там аксиоматический метод учит нас искать глубокие причины этого открытия, находить общие идеи, скрывающиеся за деталями, присущими каждой из рассматриваемых теорий, извлекать эти идеи и подвергать их исследованию» (Бурбаки. 1963. С. 248)

Для того, чтобы показать, что математика – это нечто целостное, Бурбаки вводит понятие структуры и говорит, что «построить аксиоматическую теорию данной структуры – это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их «природы»)» (Бурбаки 1963. С. 251). Разъясняя свой ответ, он пишет, что становится здесь на «наивную» точку зрения и не касается щекотливых вопросов, полуфилософских, полуматематических, возникших в связи с проблемой «природы» математических «объектов». Ограничивается замечанием, что первоначальный плюрализм в наших представлениях этих «объектов», мыслимых сначала как идеализированные «абстракции» чувственного опыта и сохраняющих всю разнородность этих последних, в результате аксиоматических исследований XIX- XX вв. был заменен единой концепцией, посредством последовательного сведения всех математических понятий сначала к понятию целого числа, затем на втором этапе к понятию множества. Последнее, рассматриваемое долгое время как «первоначальное» и «неопределимое», было объектом многочисленных споров, вызванных характером его исключительной общности и весьма туманной природой представлений, которую оно у нас вызывает. Трудности исчезли только тогда, когда исчезло само понятие множества (и с ним все метафизические псевдопроблемы относительно математических «объектов») в результате недавних исследований о логическом формализме. С точки зрения этой концепции единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры. Бурбаки описывает следующие типы математических структур: алгебраические (это такое отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых), структуры, определенные отношением порядка (отношение между двумя элементами x, y, которое чаще всего мы выражаем словами «меньше» или «равно»), топологические (в них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности, к которым нас приводит наше представление о пространстве).


Он формулирует тезис, что структуры являются орудиями математика и показывает, как они «работают»: каждый раз, когда он замечает, что между изучаемыми им элементами имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы» (Бурбаки 1963 С. 253).

Но это сравнение - недостаточное. … Каждая структура сохраняет в своем языке интуитивные отзвуки той специфической теории, откуда ее извлек аксиоматический анализ. И когда исследователь неожиданно открывает эту структуру в изученных им явлениях, это для него является как бы толчком, который сразу направляет интуитивный поток его мыслей в неожиданном направлении, и в результате этого математический ландшафт, по которому он движется, получает новое освещение. Чтобы ограничиться старым примером, вспомним прогресс, осуществленный в начале XIX в. благодаря геометрической интерпретации мнимых величин; с нашей точки зрения это было обнаружение в множестве комплексных чисел хорошо известной топологической структуры – структуры евклидовой плоскости - … открытие, которое в руках Гаусса, Абеля, Коши и Римана менее чем за одно столетие обновило весь анализ. (Бурбаки 1963 С. 253-254).

Это говорит о том, что в настоящее время математика менее, чем когда-либо, сводится к чисто механической игре с изолированными формулами, более чем когда-либо интуиция безраздельно господствует в генезисе открытий; но теперь и в дальнейшем в ее распоряжении находятся могущественные рычаги, предоставленные ей теорией наиболее важных структур, и она окидывает единым взглядом унифицированные аксиоматикой огромные области, в которых некогда, как казалось, царил самый бесформенный хаос. (Там же).

«Что касается возражений со стороны философов, то они относятся к области, где мы не решаемся всерьез выступать из-за отсутствия компетентности; основная проблема состоит во


следующая страница >>